1.10. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.
10. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. (срс)
Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Смысл этих характеристик аналогичен смыслу асимметрии и эксцесса теоретического распределения.
Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством
,
где
- центральный эмпирический момент
третьего порядка.
Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством
,
где
- центральный эмпирический момент
четвертого порядка.
Моменты и удобно вычисляются методом произведений.
Пример. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:
варианта |
10,2 |
10,4 |
10,6 |
10,8 |
11,0 |
11,2 |
11,4 |
11,6 |
11,8 |
12,0 |
частота |
2 |
3 |
8 |
13 |
25 |
20 |
12 |
10 |
6 |
1 |
Решение. Воспользуемся методом произведений, для чего составим расчетную таблицу:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10,2 |
2 |
-4 |
-8 |
32 |
-128 |
512 |
162 |
10,4 |
3 |
-9 |
-9 |
27 |
-81 |
243 |
48 |
10,6 |
8 |
-2 |
-16 |
32 |
-64 |
128 |
8 |
10,8 |
13 |
-1 |
-13 |
13 |
-13 |
13 |
- |
11,0 |
25 |
0 |
-46 |
|
-286 |
|
25 |
11,2 |
20 |
1 |
20 |
20 |
20 |
20 |
320 |
11,4 |
12 |
2 |
24 |
48 |
96 |
192 |
972 |
11,6 |
10 |
3 |
30 |
90 |
270 |
810 |
2560 |
11,8 |
6 |
4 |
24 |
96 |
384 |
1536 |
3750 |
12,0 |
1 |
5 |
5 |
25 |
125 |
625 |
1296 |
|
|
|
103 |
|
895 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку уже указывалось, как заполнять столбцы 1-5 таблицы, ограничимся краткими пояснениями: для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки столбцов 3 и 5; для заполнения столбца 7 удобно перемножить числа каждой строки столбцов 3 и 6. Столбец 8 служит для контроля вычислений по тождеству:
Контроль:
Совпадение
сумм свидетельствует о том, что вычисления
произведены правильно.
В примере для
рассматриваемого распределения было
найдено:
,
следовательно,
Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядка:
Найдем асимметрию и эксцесс:
Замечание. В случае малых выборок к оценкам асимметрии и эксцесса следует относиться с осторожностью и определить точность этих оценок (см.: Смирнов Н. В. и Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 277).