1.7.Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствующих теоретических моментов. В отличие от теоретических эмпирические моменты вычисляют по данным наблюдений.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее значение k–х степеней разностей :

где – наблюдаемая варианта, – частота варианты, – объем выборки, С – произвольное постоянное число (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С=0

В частности,

то есть начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней.

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при

В частности,

(*)

то есть центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Легко выразить центральные моменты через обычные:

(**)

(***)

1.8. Условные эмпирические моменты. (срс)

Вычисление центральных моментов требует довольно громоздких вычислений. Чтобы упростить расчеты, заменяют первоначальные варианты условными.

Условными эмпирическим моментом порядка k называют начальный момент порядка k, вычисленный для условных вариант:

В частности,

Отсюда

. (*)

Таким образом, для того чтобы найти выборочную среднею, достаточно вычислить условный момент первого порядка, умножить его на h и к результату прибавить ложный нуль C.

Выразим обычный момент через условный:

Отсюда

Таким образом, для того чтобы найти обычный момент порядка k, достаточно условный момент того же порядка умножить на .

Найдя же обычные моменты, легко найти центральные моменты по равенствам (**) и (***) предыдущего параграфа. В итоге удобные для вычислений формулы, выражающие центральные моменты через условные:

(**)

(***)

В частности, в силу (**) и соотношения (*) предыдущего параграфа получим формулу для вычисления выборочной дисперсии по условным моментам первого и второго порядков

1.9. Метод произведений для вычисления выборочных средних и дисперсии

Метод произведения дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равностоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

1. в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2. во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3. в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетки строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно –1, –2, –3 и т.д., а под нулем – 1, 2, 3 и т.д.;

4. умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

5. умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

6. умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их суму помещают в нижнюю клетку столбца.

После того как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, вычисляют условные моменты:

,

Наконец вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам (*) и (****):

,

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статического распределения:

варианты	10,2	10,4	10,6	10,8	11,0	11,2	11,4	11,6	11,8	12,0
частоты	2	3	8	13	25	20	12	10	6	1

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:

1. запишем варианты в первый столбец;

2. запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3. в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта варианта расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежи строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно –1, –2, –3, –4, а под нулем – 1, 2, 3, 4, 5;

4. произведение частот на условные варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (–46) отрицательных и отдельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (57) помещаем в нижнюю клетку столбца;

5. произведение частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца;

6. произведение частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

В итоге получим расчетную таблицу

1	2	3	4	5	6
10,2	2	–4	–8	32	18
10,4	3	–3	–9	27	12
10,6	8	–2	–16	32	8
10,8	13	–1	–13	13	0
11,0	25	0			25
11,2	20	1	20	20	80
11,4	12	2	24	48	108
11,6	10	3	30	90	160
11,8	6	4	24	96	150
12,0	1	5	5	25	36
	n=100

Контроль:

Вычисления произведены правильно.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

Найдем шаг: h=10,4–10,2=0,2.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию: