§ 3. Метод конечных разностей.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:

(1)

с линейными двухточечными краевыми условиями:

(2)

При этом снова полагаем: Функции p(x), q(x), f(x) непрерывны на [a; b].

О дним из наиболее простых методов решения этой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей длины h (шаг), причем: Точки разбиения имеют абсциссы: x_i = x0 + ih (i = 0, 1, 2, …, n); x₀ = a, x_n = b (см. рис. 1).

Значения искомой функции y(x) в точках деления x_i и ее производных обозначим через: Введем, кроме того, еще несколько новых обозначений:

Заменяя производные правыми односторонними конечно-разностными отношениями, для внутренних точек отрезка x_i будем приближенно иметь:

(3).

Для концевых точек x₀ = a, x_n = b полагаем:

(4).

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) можно при x = x_i (i = 1, 2, …, n-1) приближенно заменить линейной системой уравнений:

(i = 1, 2, …, n-1) (5).

Кроме того, в силу формул (4) краевые условия (2) дополнительно дают еще 2 уравнения:

(6).

Таким образом, мы получили линейную систему n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными y₀, y₁, …, y_n, которые представляют собой не что иное, как значения искомой функции y = y(x) в точках x₀, x₁, …, x_n. Решив такую систему, получим таблицу значений искомой функции y.

Замечание. Более точные формулы получаются, если воспользоваться симметричными конечно-разностными отношениями:

(i = 1, 2, …, n – 1) (7).

Для производных в концевых точках в общем случае приходится использовать формулы (4). Отсюда приходим к системе:

(8).

Для решения систем подобного рода разработан и применяется так называемый метод прогонки, о котором речь пойдет в § 5.

§ 4. Метод Галеркина.

Данный метод основан на одной теореме из теории общих рядов Фурье.

Теорема. Пусть: {u_n(x)} – полная система функций с ненулевой нормой, ортогональных на отрезке [a; b]. Если непрерывная функция f(x) ортогональна на отрезке [a; b] ко всем функциям u_n(x), т.е.:

(n = 1, 2, …) (1),

то: f(x)  0 при a  x  b.

Замечание. Под нормой подразумевается:

Переходим к рассмотрению метода Галеркина. Пусть имеется линейная краевая задача:

L[y] = f(x) (2),

где: и есть краевые линейные условия:

(3)

(при этом снова предполагается, что: ).

Выберем конечную систему базисных функций {u_i(x)}(i = 0, 1, …, n), составляющих часть некоторой полной системы, причем позаботимся, чтобы функция u₀(x) удовлетворяла неоднородным краевым условиям: а функции u_i(x) (i = 1, 2, …, n) удовлетворяли бы однородным краевым условиям: (i = 1, 2, …, n). Решение краевой задачи (2-3) будем снова искать в виде:

(4).

При нашем подборе базисных функций u_i(x) функция y, очевидно, удовлетворяет краевым условиям (3) при любом выборе коэффициентов C_i. Если (4) подставить в (2), то получим невязку: Для точного решения исходной задачи: R  0, поэтому для получения приближенного решения, близкого к точному, нам выгодно подобрать коэффициенты C_i так, чтобы R  0.

Согласно методу Галеркина, требуем, чтобы невязка R была ортогональна базисным функциям, что при достаточно большом числе этих функций обеспечивает малость невязки в среднем.

Для определения коэффициентов C_i приходим к системе линейных уравнений:

или, более подробно: (i = 1, 2, …, n).