1.3 Матрична град вух осіб з нульової сумою

В грі беруть участь два гравці. Функція виграшу задається прямокутною матрицею А= ( ) , i= 1,…,m;j=1,…,n. Стратегії першого гравця – це строки, а стратегії 2-го гравця – це її стовбці. Партія такої гри розігрується наступним чином. Перший гравець таємно обирає деяку строку, другий – стовбець і потім обидва оголошують о своєму виборі. Якщо перший гравець вибрав стратегію k, а другий – t, то результат( вихід) , який, як правило, означає виграш першого гравця. Якщо число >0, то це дійсно його виграш, а якщо < 0, то це виграш 2-го гравця. Після вибору строки і стовпця партія закінчена. Гра називається грою з нульовою сумою, так як в неї завжди виграш одного дорівнює програшу другого.

1.3.1. Приклади

1. Гра в «орлянку». Перший гравець кладе монету у, а другий вгадує герб або решітка. Якщо другий гравець вгадав, то він виграє 1, якщо ні, то виграє перший 1. Матриця гри представлена нижче у таблиці, де Г – герб, Р – решітка.

1/2	Г Р	min в строках
Г Р	-1 1 1 -1	-1 -1
mах в стовбцях	1 1

min = 1 max= -1

2. Гра «камінь, мішок і ножиці».В цій грі кожний з двох гравців може вибрати камінь, мішок або ножиці. Камінь уноситься у мішку, ножиці ріжуть мішок, камінь точить ножиці. Таким чином, гравець 1 виграє одиницю, якщо він перемагає гравця 2, і програє одиницю, якщо виявляється переможеним. Якщо обидва гравці роблять однаковий вибір, гра закінчується нічиєю. Матриця гри представлена нижче у виді таблиці, де К – камінь, М – мішок, Н – ножиці.

1/2	К М Н	min в строках
К М Н	0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0	-1 -1 -1
mах в стовбцях	1 1 1

min = 1 max= -1

3. Гра «про озброєння і літаки». Маємо 2 гравці, які можуть бути як протилежні сили. У одного є 3 види літаків, а у другого 3 види озброєння, здатного збивати літаки. Причому відома вірогідність поразки кожного виду літака кожним видом озброєння. Таким чином, в матриці А >0 вірогідність поразки 1-м видом озброєння j-го типу літака. Перший гравець вибирає вид озброєння, а другий тип літака. Матриця гри має вигляд:

1/2	1 2 3	min в строках
1 2 3	0,5 0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,7 0,5 0,6	0,5 0,7 0,5
mах в стовбцях	0,9 0,7 0,8

min = 0,7 max= 0,7

1.3.2 Розв'язність гри в чистих стратегіях

У матричній грі стратегії першого гравця – це множина строк, другого – множина стовбців. Також стратегії називаються чистими. Вибрати деяку чисту стратегію для першого гравця означає вказати номер строки, а для другого – номер стовпця. Так як Матриця А відображає виграш 1-го гравця ( програші другого), то перший гравець прагне якнайбільше виграти, а другий – якнайменше програти.

Розглянемо дію 1-го гравця. У кожній строчці знаходимо мінімум ( тобто це величина мінімального гарантованого виграшу, якщо перший гравець вибере цю стратегію – строчку)

для усіх і=1,…,m; j=1,…,n

Далі із усіх мінімумів вибирається максимум( тобто вибираємо стратегію 1-го гравця, яка забезпечує йому максимальний гарантований виграш).

і=1,…,m

Якщо перший гравець притримується чистої стратегії k, то він виграє не менше ніж .Величина називається нижньою ціною гри, а відповідна цьому значенню стратегія k першого гравця називається його максимальною чистою стратегією.

Розглянемо Дії 2-го гравця. У кожному стовбці знаходимо максимум (тобто для цієї стратегії означає його найбільший програш)

для усіх j=1,…,n; i=1,…,m

Далі обираємо мінімальне значення із усіх максимумів, тобто стратегію, де максимальний програш буде мінімальним

j=1,…,n

Таким чином, якщо другий гравець буде діяти у відповідності зі стратегією t, то він програє не більше . Величина називається верхньою ціною гри, а відповідна стратегія t – мінімальною чистою стратегією другого гравця.

Причому завжди виконується співвідношення

<

Це виходить із леми

ЛЕММА. Для будь якої функції f(x,y), x X y Y має місце нерівність

max min f(x,y) < min max f(x,y)

x X y Y y Y x X

У нашому випадку Х – це множина строк, а Y – множина стовбців. Не кожна матриця має властивість = . Якщо = , то ця величина називається ціною гри. Виникає два питання.

1. Коли верхня границя співпадає з нижнєю?

2. Що робити, якщо в матриці < ?

ВИЗНАЧЕННЯ. В матрчній грі з матрицею А пара стратегій (k,t) створює сідлову точку, якщо виконуються нерівності

для усіх і=1,…,m; j=1,…,n

Із означення видно, що елемент є максимальним в стовбці t і мінімальним в строчці k. В цьому випадку говорять, що матриця А має сідлову точку.

ВИЗНАЧЕННЯ. Стратегія гравця називається оптимальною, якщо існує стратегія другого гравця, у парі з якою вона створює сідлову точку.

Вирішити матричну гру означає знайти оптимальні стратегії гравців. Докажемо теорему, яка говорить, в якому випадку матрична гра розв'язна в чистих стратегіях.

ТЕОРЕМА 1. Для того щоб в матричній грі нижня ціна гри і верхня ціна гри співпали, необхідно і достатньо, щоб матриця А мала сідлову точку.

Доведення. Необхідність. Нехай = , покажемо, що в матриці А існує сідлова точка. Виділимо строчку k, де мінімальний елемент максима лен

(1)

Аналогічно виділимо, стовбець t, в якому максимальний елемент мінімальний

(2)

Покажемо, що пара стратегій (k, t) створюють сідлову точку. Спочатку доведемо, що = = . Скористаємося очевидною властивістю: довільний елемент в строчці не менший за мінімальний в ній і довільний елемент в стовбці не більше максимального в ньому. Маємо

< < (3)

Використовуючи формули (1) і (2), отримуємо

< < ,

Із умови = випливає = = .

Для того щоб показати, що (k, t) сідлова точка в матриці А, треба довести справедливість нерівності

для усіх і=1,…,m; j=1,…,n

Запишемо ланцюг очевидних рівностей та нерівностей

(4)

ліва і права нерівності виконуються аналогічно як і при розгляданні формули (3). Із (4) випливає, що (k, t) сідлова точка. Необхідність доведена.

Достатність. Відомо, що в матриці А є сідлова точка треба показати, що = , тобто нижня і верхня ціна співпадають.

Нехай пара стратегій (k, t) створюють сідлову точку, тобто

для усіх і=1,…,m; j=1,…,n

тоді елемент максимальний в стовбці t і мінімальний в строчці k ( із визначення сідловок точки), тобто можна записати

< <

Якщо далі зліва взяти min по j=1,…,n, а справа max по і=1,…,m отримаємо

< <

Величина зліва є не що інше, як верхня ціна гри, а справа – нижня ціна гри, тобто маємо . На основі леми, зазначеної вище, завжди виконується нерівність . Із останніх двох нерівностей випливає, що = . Достатність доведена.

Ми відповіли на перше поставлене питання – матрична гра розв'язна в чистих стратегіях тоді і тільки тоді, коли в матриці є сідлова точка.

Якщо розглядати приклади ігор, приведених раніше, то ігри в «орлянку» і в «камінь, мішок і ножиці» не мають рішення в чистих стратегіях, в них < . Гра «про озброєння і літаки» розв'язна в чистих стратегіях = =0,7 і оптимальні стратегії k=2, t=2, тобто перший гравець вибирає другу строчку, а другий гравець – другий стовбець.