Тема 2.3. Многогранники

23. Какое тело называют многогранником? Сформулируйте теорему Эйлера о связи числа рёбер, граней, вершин многогранника. Какие многогранники называют правильными?

24. Какой многогранник называют призмой? Перечислите виды призм. Назовите элементы призмы. Как найти площадь боковой и полной поверхности, объём призмы?

25. Какое тело называют параллелепипедом? Какие существуют виды параллелепипедов? Перечислите свойства параллелепипеда. Как найти площадь боковой и полной поверхности, объём параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда?

26. Что называют пирамидой? Назовите элементы пирамиды. Какую пирамиду называют правильной? Как найти площадь боковой и полной поверхности, объём пирамиды?

Тема 2.4. Тела и поверхности вращения

27. Какое тело называют цилиндром? Назовите элементы цилиндра. Какое сечение цилиндра называют осевым? Как найти площадь поверхности и объём цилиндра?

28. Что называют конусом? Назовите элементы конуса. Какое сечение конуса называют осевым? Как найти площадь поверхности и объём конуса?

29. Чем шар отличается от сферы? Как найти площадь сферы и объём шара? Что называют касательной плоскостью к сфере?

Раздел 3. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей

Тема 3.1. Элементы комбинаторики

30. Что называют размещениями, перестановками, сочетаниями? Приведите формулы для подсчёта их числа.

Тема 3.2. Элементы теории вероятностей и математической статистики

31. Дайте определение случайного события. Что называют вероятностью события? Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятности.

32. Какую случайную величину называют дискретной? Чем задаётся дискретная случайная величина? Каковы её числовые характеристики?

33. Каковы основные задачи математической статистики? Что называют генеральной совокупностью и выборкой? Как можно интерпретировать статистические данные?

Задания для подготовки к экзамену Задания части в (раздел «Алгебра и начала анализа»)

1. Компакт-диск стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких дисков можно будет купить на 250 рублей после понижения цены на 20%?

2. Клиент взял в банке кредит 6000 рублей на год под 15 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

3. 48 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 40% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

4. Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 4050 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

5. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона. В таблице приведены цены на четыре кресла-качалки.

Фирма-производитель	Изделие	Цена	Процент от выручки, поступающий в доход салона	Примечания для расчёта процента от выручки
«Альфа»	«Агния»	13500 руб.	7 %	Изделия ценой до 20000 руб.
«Альфа»	«Валерия»	20500 руб.	2,5 %	Изделия ценой свыше 20000 руб.
«Бета»	«Ева»	17500 руб.	3 %	Все изделия
«Омикрон»	«Казимира»	15000 руб.	6 %	Все изделия

Определите, продажа какого кресла-качалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого кресла-качалки.

6. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 40 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

Фирма такси	Подача машины	Продолжительность и стоимость минимальной поездки*	Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки (в руб.)
А	200 руб.	Нет	11
Б	Бесплатно	10 мин. — 200 руб.	16
В	150 руб.	15 мин. — 300 руб.	15

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

7. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 240 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 14 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

8. Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

9. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции в точке х₀.

а) б) в)

10. Найдите точку минимума функции: а) ; б) .

11. Найдите точку максимума функции: а) ; б) .

12. Найдите наименьшее значение функции а) на отрезке [0; 5];

б) на отрезке .

13. Найдите наибольшее значение функции а) на отрезке [0; 2];

б) на отрезке [-10; -1].

14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , , ; б) , ; в) , ; г) , , ; д) , , .