ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА.

Цель работы: сравнение численных значений температурного поля, формирующегося в породах вокруг выработок с круговой формой поперечного сечения при различных граничных условиях.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Условия однозначности

Дифференциальные уравнения описывают бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы выделить рассматриваемый процесс и однозначно определить его, к системе дифференциальных уравнений присоединяются условия однозначности, которые дают математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого явления. Условия однозначности состоят из:

1) геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы, в которой протекает процесс;

2) физических условий, характеризующих физические свойства среды;

3) временных или начальных условий, характеризующих особенности процесса в начальный момент времени;

4) граничных условий, определяющих особенности протекания процесса на границах жидкой или твердой среды.

Задание начальных условий заключается в том, что для некоторого момента времени  = _о (обычно полагают _о = 0) должны быть известны функции пространственных координат T(x, y, z, _o) = f₁(x, y, z); (x, y, z, _o) = (x, y, z). В простейшем случае начальные условия имеют вид:

f₁(x, y, z) = T_o;

f₂(x, y, z) = ; (1)

f₃(x, y, z) = P_o.

что соответствует независимости начального распределения полей скорости, давления и температуры от пространственных координат.

В качестве граничных условий для скорости движения жидкостей (уравнения движения) могут быть заданы распределения скоростей жидкости на входе в систему, на большом удалении от рассматриваемой поверхности теплообмена и т.п.

В уравнении энергии (теплопроводности) для искомой функции температуры могут быть заданы следующие граничные условия.

1. Граничные условия первого рода, когда на поверхности, ограничивающей исследуемую область, задано распределение температур как функция координат и времени:

T_пов = (x, y, z, ). (2)

В горно-теплофизических расчетах граничные условия первого рода могут быть использованы при постановке задач, описывающих температурные поля в породах, окружающих горные выработки, при интенсивном испарении влаги с поверхности пород при движении теплоносителя по скважинам или геотермальному коллектору в системах извлечения геотермальной энергии и т.п.

2. Граничные условия второго рода, когда на поверхности в функции координат и времени задана плотность теплового потока, т.е. производная от температуры по нормали к поверхности:

(3)

Возможен случай задания однородного граничного условия второго рода

(4)

т.е. условия отсутствия потока теплоты на поверхности тела, так называемая тепловая изоляция. Такое условие часто задается при равномерном обогреве поверхности тела, имеющего геометрическую симметрию.

Например, задача симметричного прогрева пластины толщиной 2R(х < R), являющаяся, например, физической моделью для исследования формирования температурных полей в ленточном целике, когда на ограничивающих поверхностях х = R с помощью инфракрасных излучателей задана плотность тепловых потоков q1 = q2 = qо сводится к эквивалентной задаче: заданы тепловой поток qо на поверхности х = ±R и q = 0, в центре симметрии пластины х = 0

Другой пример задания условия второго рода относится к формированию в горном массиве заданного температурного распределения, с помощью, установленной в выработке холодильной машины. Плотность теплового потока при этом равна отношению тепловой мощности холодильной машины Q() к поверхности выработки F, т.е. q = Q()/F.

3. Граничные условия третьего рода, в которых тепловой поток предполагается пропорциональным разности температуры поверхности твердого тела, описываемого жидкостью Т_пов., и температуры жидкости t:

(5)

Граничное условие третьего рода широко применяется в горной теплофизике для исследования температурных полей в системе горный массив – воздушная струя, а также при фильтрации газа и жидкости в пористых средах.

4. Граничные условия четвертого рода сводятся к одновременному заданию равенства температур и тепловых потоков на границе раздела , когда решается задача о теплообмене двух сред с температурами Т₁(x, y, z, ), T₂(x, y, z, ), например, твердое тело – жидкость, твердое тело – твердое тело, жидкость – жидкость), в каждой из которых перенос теплоты описывается своим уравнением энергии:

Т₁ = Т₂; (6)

(7)

Равенство (6) выражает условие непрерывности температурного поля, а равенство (7) – закон сохранения энергии на поверхности соприкосновения двух сред (или тел). Условия (6), (7) называются еще условиями идеального теплового контакта, а также неуправляемыми граничными условиями в отличие от граничных условий первого – третьего родов (управляемые граничные условия).

В задачах горной теплофизики граничные условия четвертого рода в основном используются при вычислении температурных полей в неоднородных по теплофизическим свойствам породных массивах, находящихся в контакте друг с другом, например, бетонная закладка – руда, гидравлическая закладка – уголь, бетонная крепь – горный массив.

Таким образом, при конвективном теплообмене твердого тела с жидкостью в случае стационарного температурного поля (Т/ = 0) целесообразно использовать граничные условия третьего рода – соотношение (5), а в случае нестационарного поля (Т/  0) при точной формулировке задачи необходимо применять граничные условия четвертого рода (6), (7). В случае нестационарного лучистого теплообмена при большой разности температур поверхности и среды необходимо применять граничные условия второго рода (соотношение (3)). При малой разнице температур, когда [T_пов() – t()]  0, можно использовать закон Ньютона, т.е. граничные условия третьего рода.

Выбор граничных условий зависит от величины коэффициента теплоотдачи . при   50 Вт/м²С теплообмен между воздухом и породами описывается граничными условиями III-го рода, а при  > 50 Вт/м^{2 –} граничными условиями I-го рода.

Если поток среды частично или полностью ограничен поверхностями твердых тел (стенками), то конвективный теплообмен между движущейся средой и поверхностью раздела называется конвективной теплоотдачей.

При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона-Рихмана:

dQ_c = (T_пов – t_с)dF, (8)

где dQ_c – тепловой поток от жидкости (газа) к элементу поверхности; T_пос и t_с – соответственно температура поверхности тела и окружающей жидкой или газообразной среды.

Коэффициент теплоотдачи  учитывает конкретные условия процесса и представляет собой количество теплоты, передаваемое в единицу времени с единицы поверхности при разности температур твердого тела и среды один градус.

Роль коэффициента теплоотдачи  не аналогична роли, например, коэффициента теплопроводности _п в законе Фурье. В то время как величина _п – физический параметр среды (вещества).

Коэффициент теплоотдачи  представляет собой сложную функцию тепловых и динамических процессов, развивающихся в непосредственной близости от поверхности теплообмена.

Во всех случаях величина  определяется закономерностями развития у поверхности омываемого жидкостью (газом) твердого тела, т.н. гидродинамического и теплового пограничных слоев. Коэффициент теплоотдачи оказывается связанным с толщиной теплового пограничного слоя  = ж/тс, где ж – теплопроводность жидкости или газа.

В свою очередь, значение тс зависит от закономерностей формирования теплового пограничного слоя и определяется природой возникновения движения среды.

Численные значения коэффициента теплоотдачи a изменяются в широких пределах: при свободной конвекции воздуха – 5-25, воды – 20-100, при вынужденной конвекции воздуха – 10-200, воды – 50-10000, для кипящей воды – 3000-100000 Вт/(м²×К).

Пограничные гидродинамический и тепловой слои

Тонкий слой жидкости (газа) вблизи поверхности тела, в котором происходит изменение скорости жидкости (газа) от нуля непосредственно на стенке до скорости невозмущенного наличием стенки потока w₀ называют гидродинамическим пограничным слоем. Толщина его возрастает вдоль по потоку. Этот слой может быть ламинарным или турбулентным с ламинарным подслоем в зависимости от скорости невозмущенного потока.

Если температура стенки и жидкости (газа) неодинаковы, то вблизи стенки образуется тепловой пограничный слой, в котором происходит изменение температуры жидкости (газа) от температуры стенки t_с до температуры ядра потока t₀.

Толщины гидродинамического и тепловых слоев могут не совпадать.

Рис. 1 Изменение скорости в гидродинамическом пограничном слое.

Рис. 2 Изменение температуры в тепловом пограничном слое.

Расчет температурных полей

В качестве примера рассмотрим расчет температурных полей в горном массиве, окружающем выработки.

Математическая формулировка задачи будет зависеть от геометрической формы выработки и типа граничного условия на контакте воздушного потока с породами. Геометрическая форма выработок выбирается в зависимости от соотношения их длины l_выр, ширины b_выр и высоты h_выр следующим образом (рис.1):

а) при bвыр/hвыр > 2 – поперечное сечение выработки принимается щелеобразным, а сам горный массив, окружающий выработку моделируется полуограниченным пространством; б) при lвыр/bвыр > 2 и bвыр/hвыр  2 – поперечное сечение выработки принимается круговым, а сама выработка – цилиндрической формы.

Типичная математическая постановка задачи о теплообмене воздушного потока с горным массивом, окружающем цилиндрическую выработку кругового поперечного сечения, при допущениях независимости теплофизических свойств пород от температуры и времени, а также пренебрежимо малыми величинами тепловых потоков в породах и в воздухе вдоль оси выработки соответственно по сравнению с его радиальной составляющей и конвективным переносом, имеет вид:

(9)

T(r, 0) = Т_о; (10)

(11)

(12)

где R_ж – эквивалентный радиус выработки, м; ; S_выр, U_выр – соответственно сечение и периметр выработки; Т_о – начальная температура пород, С.

Решение системы уравнений (9) – (12) может быть осуществлено как строгими, так и приближенными аналитическими методами. При использовании последних распределение температуры пород дается зависимостью:

(13)

где  – так называемый радиус теплового влияния, зависящий от числа Фурье, связанного со временем теплообмена (Fо=a_п/R_эк²), Bi – число Био R = r/R_эк.

Величина коэффициента теплоотдачи  определяется в зависимости от скорости движения воздуха v_в, геометрических параметров выработки и состояния ее поверхности, омываемой воздухом, которое учитывается коэффициентом шероховатости _ш.

(14)

Величина _ш изменяется от 1 до 3,5.

Числа подобия.

Наиболее часто при решении задач по оценке параметров термодинамических процессов горного производства используют числа (критерии) Фурье и Био. Кроме них широко применяют безразмерные величины, которые также имеют смысл критериев. К ним относятся безразмерная координата ή, безразмерная температура θ.

Безразмерный параметр θ характеризует собой избыточную температуру. В задачах с граничными условиями первого и третьего родов, когда температура поверхности породы T_п или температура теплоносителя T_т постоянны, а начальная температура породы T₀ во всех точках одинакова, избыточная температура соответственно будет:

θ =(T-T_п)/(T₀- T_п), θ =(T-T_т)/(T₀- T_т) (15)

где T –текущая температура в заданной точке.

Безразмерная температура изменяется от 1 при τ=0 до 0 при τ= .

Число Фурье Fo=a_пt/L² ; Число Био Bi=aL/λ_п ; Число Предводителева Pd = 2π L²/(t_max a_п)

Характерный размер (L) в случае цилиндрической симметрии соответствует R_экв.

Критерий Фурье можно рассматривать как отношение текущего времени теплообмена t к некоторому искусственному, но тем не менее вполне характерному для конкретного явления масштабу времени L²/a_п , представляющему собой продолжительность выравнивания температурного поля. Таким образом, критерий Фурье является безразмерным временем, характеризующим исследуемый процесс.

Критерий Био может быть представлен как отношение термического сопротивления стенки λ_п/L к термическому сопротивлению передачи теплоты на поверхности 1/a . Следовательно, критерий Био характеризует соотношение между интенсивностями двух процессов, протекающих в твердом теле: передачу теплоты от воздуха к поверхности выработки и отвод его от поверхности в глубь массива. При этом в зависимости от величины Bi различают внешнюю и внутреннюю задачи теплопроводности. Внеш­няя задача характеризуется независимостью распределения темпе­ратуры в твердом теле от его размеров и физических свойств, что соответствует малым значениям критерия Bi (практически Bi <0,1). Внутренняя задача наступает при Bi > 100, что обуславливает зависимость процесса передачи теплоты от размеров и физических свойств твердого тела (горного массива).

Критерий Предводителева характеризует темп изменения температуры окружающей среды от времени.