3.2 Системи числення

У теорії інформації, кодування, передачі даних і система обміну інформацією найпоширенішими є двійкова, вісімковa та шістнадцяткова системи числення. Проте це ні в якому разі не означає, що на практиці не користуються іншими системами числення, такими як трійкова, четвіркова, шісткова тощо.

Узагалі ціле число N у будь-якій системі числення можна за­писати у вигляді ряду

N = (3.1)

де – розрядні коефіцієнти, значення яких змінюються від І до q - 1;

q - основа (алфавіт) системи числення; i– номер роз­ряду; n – кількість їх.

Назва системи числення походить від основи (алфавіту) q : q = 2 – двійкова, q = 3 – трійкова, q = 8 – вісімкова систе­ми числення тощо.

Для запису чисел (табл. 3.1) у дев'ятковій системі використо­вують 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); у двійковій – дві (0 і 1); у трійковій – три (0,1,2); у вісімковій – вісім (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), а в шістнадцятковій – 16 знаків, з них – 10 цифр (0...9) і шість літер (А, В, С, D, E, F).

Так, користуючись виразом (3.1), десяткове число 375 можна записати у вигляді ряду (375)₁₀ = 3·10² + 7·10¹ + 5·10°.

Те саме число в двійковій системі числення запишеться як

(375)₂ = 1 · 2⁸ + 0 · 2⁷ + 1 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1· 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 1· 2¹+ 1 · 2°→ 101110111;

у трійковій- як

(375)₃ = 1 · З⁵ + 1 · З⁴ + 1 · З³ + 2 · З² + 2 · 3^і + 0 · 3°→111220,

у вісімковій – як

(375)₈ = 5 · 8² + 6· 8¹ + 7 · 8° → 567,

а в шістнадцятковій – як

(375)₁₆ = 1 · 16² + 7 · 16¹ + 7 · 16⁰→177.

Кількість комбінацій простого коду в будь-якій системі чис­лення залежить від алфавіту коду та довжини кодової комбіна­ції (N = qⁿ) і, звичайно, чим більший алфавіт коду, тим менша кількість розрядів у комбінації.

Для запису десяткового числа в будь-якій системі числення треба поділити його на основу вибраної системи. Після першо­го ділення дістанемо цілу частку й остачу. Продовживши ді­лення цілої частки, матимемо нові цілу частку та остачу. Ді­лення цілих часток продовжуємо доти, доки частка не стане меншою від основи q системи числення. Ця остання частка й буде старшим розрядом числа у вибраній системі числення. Інші Розряди відповідатимуть остачам від ділення. Молодший роз­ряд – це остача від першого ділення.

Таблиця 3.1 – Представлення чисел у різних системах

Числа
десяткові	двійкові	вісімкові	шістнадцяткові
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
б	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	с
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
32	100000	40	20
64	1000000	100	40
100	1100100	144	64
128	10000000	200	80
256	100000000	400	100

Нехай число 217, записане в десятковій системі числення, треба пере­вести у двійкову систему. Виконуємо послідовне ділення числа 217 на 2 (в дужках зазначено остачі від ділення):

217:2= 108 +(1); 13:2 = 6 + 0);

108 : 2 = 54 + (0); 6:2 = 3+ (0);

54 : 2 = 27 + (0); 3:2=1+ (1);

27:2= 13+ (1); 1:2 = 0 + (1).

Відповідно до викладеного вище остання частка відділення, значення якої менше від основи системи числення (в даному разі це значення частки в передостанньому діленні, коли 1 < 2), є коефіцієнтом при основі систе­ми числення у найвищому степені (в даному разі це 1) або остання остача, що рівнозначно. Решта остач будуть коефіцієнтами при основі системи числення менших степенів. Таким чином, число 217 у двійковій системі числення записується у вигляді 11011001.