4.2 Коди з виправленням помилок

Коди з виправленням помилок необхідні для передачі повідомлень каналами зв’язку, оскільки помилки можуть виникати внаслідок впливу завад. Вони потрібні також в зовнішніх запам’ятовуючих пристроях, оскільки якість запису з часом погіршується і надійність читання знижується.

Першими найбільш простими кодами з виправленням помилок є коди з потроєнням. При їх застосуванні передача кожного повідомлення повторюється три рази, а на приймальному кінці для кожного символа здійснюється, так зване, «голосування за більшістю». Зрозуміло, що така система дозволяє виправити будь-які одиночні помилки, зв’язані із заміною символів, але вона є занадто неефективною та дорогою.

4.2.1 Прямокутні коди

В прямокутних кодах з виправленням помилок повідомлення подається у прямокутнику розміром (m-1)(n-1). До кожного рядка, що складається із m-1 символів, додається перевірка на парність, внаслідок чого рядок стає довжиною m. Аналогічно по одному перевірочному символу додається до кожного стовпчика. При цьому несуттєво, заповнюються чи ні символами повідомлення кінці рядків повністю.

Приклад для m=7, n=8:

0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0	1

Якщо в даному рядку (стовпчику) з’являється одиночна помилка, то порушення парності з’являються одночасно і в n-му стовпчику, і в m-му рядку. Відповідно номери рядка та стовпчика порушення парності дають можливість указати координати помилки в повідомленні.

За рахунок перевірочних символів (m-1)(n-1) символів повідомлення перетворюються в mn символів коду. Отже, надмірність становить

Звичайною перевіркою легко переконатись, що значення надмірності буде тим меншим, чим ближчий прямокутник до квадрата. Для квадратних кодів розміром mm є (m-1)² інформаційних символів і 2m-1 перевірочних символів вздовж сторін. При цьому надмірність становить

4.2.2 Трикутні коди

Від прямокутних кодів легко перейти до трикутних. Довжини катетів трикутника рівні m. Перевірочні символи, кількість яких теж k, знаходяться на гіпотенузі. Кожний перевірочний символ визначається перевіркою на парність, в яку входять як відповідний рядок, так і відповідний стовпчик.

Помилка повідомлення приводить до порушень парності в двох перевірочних символах. Координати порушень парності дають можливість визначити координати помилки повідомлення.

Приклад для m=5:

1 0 0 1 0

0 1 1 1

1 0 0

0 1

0

Наприклад, якщо координати помилки повідомлення (2,3), то на порушення парності укажуть перевірочні символи з координатами (2,4) і (3,3). А якщо координати помилки повідомлення (1,4), то на порушення парності укажуть перевірочні символи з координатами (1,5) і (2,4).

Трикутний код дає можливість зменшити надмірність коду. Дійсно, повідомлення в цьому випадку містить m(m-1)/2 символів, для перевірки додається ще m символів. Отже, надмірність становить