3. Нод и нок чисел, их свойства. Пункт 1. Общий делитель и наибольший общий делитель.

Определение 1. Целое число называется общим делителем целых чисел и , если и , то есть .

Определение 2. Целое число называется наибольшим общим делителем и , если

1. - ;

2. .

Предложение 1. НОД двух целых чисел определяется с точностью до знака.

Замечание 1. Далее будем считать, что НОД двух целых чисел есть число положительное.

Предложение 2. Если , тогда НОД( ) = .

Доказательство: Пусть . По свойству 1 . Тогда по определению НОД( ) = .

Предложение 3. Пусть и , тогда НОД( )=НОД( ).

Доказательство: Пусть . Тогда или , . Тогда по свойству 5 . Так как и , то . Следовательно, .

Замечание 2. Определение 1 и определение 2 можно обобщить на случай любого конечного числа целых чисел.

Пункт 2. Свойства нод.

1. Наибольший из общих делителей и , является их наибольшим общим делителем.

2. (О линейном представлении НОД).

Если , тогда такие, что .

Доказательство: Рассмотрим множество . Очевидно, что . Пусть и . Тогда остаток от деления на принадлежит . Действительно: , тогда .

Пусть - наименьшее положительное число из P. Тогда а делится на d. В самом деле, , значит , следовательно, . Аналогичными рассуждениями получается, что b делится на d, значит d - общий делитель a и b.

Далее, если , то . Если теперь - общий делитель a и b, то , т.е. . Значит и d - наибольший общий делитель.

3. Если каждое из чисел и умножить на , то и их НОД умножится на .

4. (О нахождении НОД целых чисел).

Пусть - целые числа и , и , и так далее, и , тогда .

Пункт 3. Взаимнопростые числа.

Определение 1. Целые числа а и b называются взаимнопростыми, если .

Определение 2. Числа называются взаимнопростыми, если .

Определение 3. Целые числа называются попарно взаимнопростыми, если любая пара этих чисел является взаимнопростой.

Теорема (Критерий взаимной простоты). Целые числа а и b являются взаимнопростыми тогда и только тогда, когда существуют целые числа х и у такие, что .

Доказательство: Необходимость: Пусть и взаимно просты. Тогда по свойству 2 пункта 2 .

Достаточность: Пусть и числа и не взаимно просты, то есть . Тогда и . Следовательно, x+ . По условию . Тогда так как 1 не может делиться на , то . Следовательно, и взаимно просты.

Свойства взаимнопростых чисел.

1.Если с взаимнопросто с каждым из целых чисел а и b, то оно взаимопросто с произведением аb.

Следствие: Если каждое из чисел взаимнопросто с каждым из , то каждое из чисел взаимнопросто с .

2. Если и в и с взаимнопросты, то .

Следствие: Если а и b взаимнопросты и к - произвольное натуральное число, то взаимнопростыми будут и числа и .

3.Если , тогда .

Пункт 4. Наименьшее общее кратное целых чисел.

Определение 1. Z называется общим кратным а и b, если и .

Определение 2. Z называется наименьшим общим кратным а и b, если

1) ;

2) .

Предложение. НОК двух целых чисел определяется с точностью до знака.

Замечание 1. Далее будем считать, что НОК двух целых чисел есть число положительное.

Теорема. (О связи НОД и НОК двух натуральных чисел). Пусть N, тогда .

Следствие. Если Z, тогда .

Используя теорему НОД и НОК можно перечислить свойства наименьшего общего кратного:

1º. Наименьшее положительное общее кратное чисел а и b является их НОК.

2º. Если целые числа а и b взаимнопросты, то .

3º. Если каждое из чисел а и b умножить на число Z, то умножится на m.

4º. (Нахождение НОК m чисел)

Пусть Z и , и , и так далее, и , тогда .