8. Алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида и нод двух целых чисел.

Пусть .

1. , где .

Если , то процесс деления на этом закончен, если же нет, то

2. , где .

Если , то процесс закончен, если нет, то

3. , где и так далее.

…

k) , где ;

k+1) .

Процесс деления конечный, потому что в результате мы получаем последовательность , то есть убывающую последовательность натуральных чисел. Такая последовательность конечная, поэтому на каком-то шаге делений {k+1} мы получим в остатке 0.

Этот процесс – алгоритм Евклида.

Теорема. (О нахождении НОД двух целых чисел).

Для любых двух целых чисел и , одновременно не равных 0, существует их НОД и он равен последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида, примененному к числам и .