3.Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения.

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Правило сложения многозначных чисел:

Пусть даны числа: и , то есть рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел и одинаково (если число содержит только разрядов, где , то положим ).

.

Воспользуемся ассоциативным свойством сложения:

.

Воспользуемся коммутативным свойством сложения:

.

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения:

.

Сумму , вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа , так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы не превосходят девяти, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае, выбираем наименьшее , для которого . Если , то того, что и следует неравенство и поэтому можно представить в виде: , где . Но тогда . В силу свойств сложения и умножения в сумме слагаемые могут быть заменены на . После этого рассматриваем коэффициенты , выбираем наименьшее , при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через шагов придем к выражению вида: , где , или и где для всех выполняется неравенство: . Тем самым получена десятичная запись числа .

Пример1:

Вычислим:

Представим числа в десятичной записи:

Воспользуемся ассоциативным свойством сложения:

Воспользуемся коммутативным свойством сложения:

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения:

Сложим однозначные числа в соответствующих разрядах:

Представим в виде суммы коэффициенты, большие 10:

Заменим слагаемые на :

Запишем сумму в виде краткой записи:

.

Алгоритм сложения:

1. Записать второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Сложить единицы первого разряда. Если сумма меньше 10, записать ее в разряд единиц ответа и перейти к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна 10, то представить ее в виде , где - однозначное число, записать в разряд единиц ответа и прибавить 1 к десяткам первого слагаемого, после чего перейти к разряду десятков.

4. Повторить те же действия с десятками, потом с сотнями и так далее. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна 10, то надо приписать впереди обоих слагаемых нули, увеличить ноль перед первым слагаемым на 1 и выполнить сложение 1+0=1.

Пример2:

Вычислим:

1) Запишем второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2) Сложим цифры первого разряда: . Запишем 9 в разряд единиц ответа:

3) Сложим цифры второго разряда: . Представим 11 в виде . Запишем 1 в разряд десятков ответа и увеличим на 1 цифру сотен первого слагаемого:

4) Сложим цифры третьего разряда: . Запишем 6 в разряд сотен ответа:

5) Допишем 0 в разряд тысяч первого слагаемого:

6) Сложим цифры четвертого разряда: . Запишем 7 в разряд тысяч ответа:

Ответ: .