1. Отношение делимости во множестве целых неотрицательных чисел, его основные

Z является областью целостности, поэтому все утверждения, определения, которые сформулированы для произвольной области целостности справедливы и для кольца Z.

Определение 1. Пусть Будем говорить, что делится на и обозначать {или } тогда и только тогда, когда найдется такое , что . При этом - делимое, - делитель, - частное.

Синонимы: 1) кратно ;

2) делит ;

3) делитель .

Предложение 1. Частное от деления на определяется однозначно.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует два частных от деления на : и . Тогда и . Следовательно, . В силу монотонности операции умножения получаем, что . Таким образом мы получили противоречие с нашим предположением. Следовательно оно не верно и частное от деления двух целых чисел определяется однозначно. Предложение доказано.

Основные свойства:

1. , ;

Доказательство: Поскольку , то .

2. ;

Доказательство: , . Тогда . Поскольку , то . Следовательно, , то есть .

3. ;

Доказательство: , . Тогда . Так как , то . Следовательно, или .

4. ;

Доказательство: , . Тогда . Следовательно, или .

5. ;

Доказательство: . Тогда . Так как , то . Следовательно, .

6. ;

Доказательство следует из свойств 4 и 5.

7. ;

Доказательство:

8. ;

Доказательство: Поскольку , то . Следовательно, .

9. ;

Доказательство: Поскольку , то . Следовательно, .

10. Деление на 0 невозможно.

Доказательство: Пусть . Тогда по определению . Этому равенству удовлетворяет каждое натуральное число. Это противоречит теореме об однозначности частного. Следовательно, деление нуля на ноль невозможно. Пусть теперь . Тогда по определению . Произведение любого числа на ноль равно нулю, но . Получили противоречие. Следовательно, деление на ноль невозможно.

11. Если , то .

Доказательство: Пусть . Тогда согласно свойству 7. . Поэтому мы можем сказать, что . По определению , где - натуральное число, то есть может быть равно 1 и тогда , либо может быть больше 1 и тогда . Следовательно, .

2. Признаки делимости.

Теорема 1 (общий признак делимости Паскаля).

Пусть записано в десятичной системе счисления:

, , тогда

- цифры числа в десятичной системе счисления, .

- наименьшие по абсолютной величине вычеты числа , по модулю .

Доказательство: Запишем натуральное число в десятичной системе счисления следующим образом: .

Найдем ряд остатков по следующей схеме:

— остаток от деления 10 на ;

— остаток от деления на ;

— остаток от деления на ;

…

— остаток от деления на .

Так как остатков конечное число (а именно ), то этот процесс зациклится не позже, чем через шагов и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что .

Тогда имеет тот же остаток от деления на , что и число .

Следствие 1. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя его цифра делится на 2.

Следствие 2. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя его цифра делится на 5.

Следствие 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3.

Следствие 4. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Следствие 5. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное двумя последними цифрами данного числа , делится на 4.

Следствие 6. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, составленное двумя последними цифрами данного числа , делится на 25.

Следствие 7. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда .

Замечание 1. Подобным образом можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Замечание 2. Признаки делимости можно получить в любой системе счисления.