10. Задачі транспортного типу

Викладений у попередніх розділах симплекс-метод універсальний для розв’язання ЗЛП і може використовуватися для будь-яких задач такого типу. Він дозволяє повністю дослідити ЗЛП: знайти розв’язок, якщо він існує, або встановити факт його відсутності. Проте існують окремі випадки ЗЛП, які через внутрішні особливості задачі (властивості коефіцієнтів цільової функції , матриці обмежень , правих частин b та ін.) допускають розв’язання простішими методами. До них належать і задачі транспортного типу (ЗТТ).

Класична ЗТТ формулюється таким чином. Нехай є m пунктів відправлення продукції: , у яких сконцентровано запаси певного однорідного товару (вантажу) в кількості відповідно одиниць. Крім того, є n пунктів призначення: , які подали замовлення відповідно на одиниць товару. Припустімо, що сума всіх замовлень дорівнює сумі запасів:

(10.1)

Будемо вважати, що задано вартість перевезень одиниці товару від кожного пункту відправлення до кожного пункту призначення . Матрицю (таблицю) перевезень задано у вигляді

Треба скласти такий план перевезень, щоб забезпечити виконання всіх замовлень і щоб сумарна вартість перевезень при цьому була мінімальна (найменша):

(10.2)

де – кількість товару, що перевозиться з пункту в пункт .

Побудуємо математичну модель цієї задачі.

Невід’ємні змінні (кількість яких ) повинні задовольняти такі умови:

1. Сумарна величина вантажу, який направляється з кожного пункту відправлення в усі пункти призначення, має дорівнювати запасам вантажу в даному пункті.

або

(10.3)

2. Сумарна кількість вантажу, що перевозиться в кожний пункт призначення з усіх пунктів відправлення, має дорівнювати замовленню для даного пункту. Це дає нам n умов-рівностей:

або

(10.4)

3. Має виконуватись умова (10.2):

(10.5)

Функція – лінійна, обмеження рівності (10.3), (10.4) також лінійні. Перед нами типова ЗЛП з обмеженнями-рівностями.

Як і будь-яку ЗЛП, її можна було б розв’язати використовуючи симплекс-метод, але внутрішня специфіка задачі (обмеження-рівності, одиничні коефіцієнти в обмеженнях, невід’ємність коефіцієнтів в (10.5)) дозволяє значно спростити її розв’язання.

Неважко переконатися, що не всі n+m рівнянь (10.3), (10.4) незалежні. Дійсно, підсумовуючи всі рівняння (10.3) та (10.4) одержимо одне й теж саме число згідно з умовою (10.1). Отже, умови (10.3), (10.4) зв’язані однією лінійною залежністю, і фактично з цих рівнянь лише n+m-1, не n+m, лінійно незалежні. Це означає, що ранг системи рівнянь (10.3), (10.4) однаковий:

r = n+m-1,

а отже, можна розв’язати ці рівняння відносно n+m-1 базових змінних, виразивши їх через інші, вільні.

Підрахуємо кількість вільних змінних:

k = mn-(m+n-1) = mn – m - (n-1) = (m-1)(n-1).

Із розгляду ЗЛП відомо, що оптимальний розв’язок досягається в одній з вершин області допустимих розв’язків (ОДР), де хоча б k змінних перетворюється на нуль. У нашому випадку для оптимального плану перевезень хоча б (m-1)(n-1) значень повинні бути рівні нулю. Значення кількості одиниць ватажу, який направляється з пункту в пункт будемо називати перевезеннями.

Будь-яку сукупність будемо називати планом перевезень, або просто планом.

План будемо називати допустимим, якщо він задовольняє умови (10.3), (10.4) («балансові умови» – всі замовлення виконані, всі запаси вичерпані).

Допустимий план будемо називати опорним, якщо в ньому відмінні від нуля не більше r = n+m-1 базових перевезень , а всі інші дорівнюють нулю.

План будемо називати оптимальним, якщо він серед усіх допустимих планів приводить до найменшої сумарної вартості перевезень.

Розв’язок ЗТТ можна звести до деякої маніпуляції із симплекс-таблицями, які для цієї задачі будемо називати транспортними таблицями,

ПП ПВ	В1	В2	...	Вn	Запаси ai
А1	c11	c12	...	c1n	a1
А2	c21	c22	…	c2n	a2
…	…	…	…	…	…
Аm	cm1	cm2	…	cmn	am
Замовленняbj	b1	b2	…	bn

(10. 6)

де ПП – пункт призначення вантажу; ПВ – пункт відправлення вантажу; усі інші позначення відповідають попереднім. Клітинки таблиці, у яких будемо записувати відмінні від нуля перевезення, називатимемо базовими, а порожні – вільними.

Отже, розв’язок задачі зводиться до знаходження додатних чисел, які, будучи поставлені в базових клітинках транспортної таблиці, забезпечили б виконання таких умов:

• сума перевезень у кожному рядку таблиці має дорівнювати запасу даного ПВ;

• сума перевезень у кожному стовпчику таблиці має дорівнювати розміру замовлення певного ПП;

• сумарна вартість перевезень – мінімальна.

Надалі всі дії щодо знаходженню розв’язків ЗТТ будуть пов’язані з перетвореннями транспортної табл. (10.6). Для опису цих перетворень скористаємося нумерацією клітинок таблиці, подібної до нумерації клітин шахової дошки. Клітинкою ( ), або , будемо називати клітинку, яка стоїть в i-му рядку і j-му стовпчику транспортної таблиці. Наприклад, верхня ліва клітинка позначатиметься як (1, 1), яка стоїть під нею – (1,2) і т.д.