3. Модель «затрати-випуск» в. В. Леонтьєва

Розглянемо найпростішу модель «затрати-випуск» – замкнену і статичну [3]. Будемо вважати, що об’єкт економічної діяльності випускає найменувань продукції , де значок «*» при векторі означає операцію транспонування. Крім того,

де Z – вектор внутрішнього споживання продукції об’єктом;

Y – вектор кінцевої продукції (продукції, яка йде на продаж, у запаси, тощо).

Будемо вважати, що

де – невід’ємна матриця своїх елементів, які є коефіцієнтами прямих затрат при виробництві продукції. Або

(3.1)

У деталізованому вигляді матричне рівняння (3.1) має вигляд:

(3.2)

де – кількість продукції і-го виду, потрібної для виробництва одиниці продукції j-го виду. – компоненти вектора кінцевого випуску. Зміст компонентів вектора – кількість валового продукту відповідної номенклатури.

Будемо вважати, що технологічні коефіцієнти задано наперед. Модель (3.2) дозволяє за умов, коли, задано вектор Y, визначити розміри відповідних значень вектора валового продукту , виробничу собівартість випуску кожного виду продукції, матрицю повних затрат і дослідити на продуктивність матрицю А.

Матриця А називається продуктивною (інколи вживають термін цілком продуктивна), якщо матриця не має від’ємних елементів. Матриця Е – одинична матриця розмірності (n×n).

Приклад. Нехай матриця А має вигляд

вектор .

Знайти:

а) матрицю повних затрат ;

б) вектор валового випуску ;

в) виробничу собівартість S₁, S₂, S₃, S₄ кожного виду продукції.

Розв’язування. Шукаємо матрицю

де – детермінант (визначник) матриці (det B = ):

Шукаємо вектор валового випуску :

Шукаємо виробничу собівартість S₁, S₂, S₃, S₄ :

Часто виникає необхідність встановлення факту продуктивності матриці без знаходження елементів матриці . Справедливі наступні твердження:

Твердження 1. Для продуктивності матриці достатнє виконання умов:

або

Твердження 2. Згідно з [5] для продуктивності матриці необхідне і достатнє виконання таких умов:

1. існує рядок і₀ у матриці для якого виконується умова:

2. існує перенумерація рядків і стовпців матриці , для якої виконуються умови

Припустімо, що , тоді .

,

де

...

Звідси випливає, що продуктивність матриці можна встановити за допомогою незначних обчислень і перенумерації компонент вектора та елементів матриці .

Завдання для самостійних і контрольних робіт

Знайти:

1. вектор валового випуску;

2. матрицю повних затрат;

3. виробничу собівартість кожного виду продукції;

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.