Завдання для самостійних та контрольних робіт
Розв’язати задачі транспортного типу 1-32. Знайти опорний та оптимальний плани перевезень вантажу.
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11 |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
14. Розв’язання задач лінійного програмування в цілих числах
Часто в ЗЛП
(14.1)
за обмежень
(14.2)
потрібно одержати розв’язок у якому деякі або всі компоненти мають бути цілими числами. Для цього використовують метод ланцюгів і границь. Схема розв’язання ЗЛП у цілих числах ЦЗЛП полягає в наступному:
Розв’язуємо ЗЛП (14.1), (14.2) за допомогою симплекс-методу (або будь-яким іншим методом) без умови цілочисельності змінних. Якщо змінні – цілі числа, то задачу можна вважати розв’язаною. Нехай змінна xk набула не цілого значення xk=αk , αk має дробову складову.
Розв’язуємо дві задачі:
(14.1), (14.2) за умови
;(14.1), (14.2) за умови
,
де значок
означає
цілу частину числа, що в ньому міститься.
3. У
випадку цілих розв’язків задач a)
і b)
порівнюємо одержані значення функцій
L.
Більше з них – оптимальне значенням
,
а змінні, за яких воно досягається, –
розв’язок задачі.
4. Якщо ж знайдеться таке xl, що не відповідає умові цілочисельності, тоді повторюємо виконання п.2, замінивши xk на xl. Таку процедуру повторюємо доти, доки всі потрібні змінні не стануть цілими.
Приклад. Розв’язати ЗЛП в цілих числах:
(14.3)
(14.4)
Розв’язування. Виконуємо п. 1 відповідно до симплекс-процедури розподілу:
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
x1 |
y1 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
|
|
|
|
b |
y2 |
y1 |
|
-12 |
-1 |
0 |
х2 |
|
|
|
х1 |
|
|
|
Розв’язок
досягається при
.
Будемо виділяти клітинки таблиці з
базовим елементом. Оскільки, х1
та х2
не цілі числа, переходимо до виконання
п. 2.
Використовуючи симплекс-метод, розв’язуємо нову задачу:
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
x1 |
y1 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
|
|
|
y3 |
-4 |
0 |
-1 |
|
y3 |
|
|
|
Оскільки
в рядку, де стоїть від’ємний елемент,
немає від’ємних чисел, задача розв’язку
не має, допустима область порожня. Це
означає те, що при х2≥4
розв’язку даної задачі не існує.
Розв’яжемо задачу (13.3), (13.4) за додаткової
умови
.
Тут
і далі значок
означає
цілу частину числа, що стоїть у дужках.
Отримаємо:
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
x1 |
y3 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
y1 |
|
|
|
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
|
|
|
y3 |
3 |
0 |
1 |
|
x2 |
3 |
|
|
|
b |
y2 |
y3 |
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
Розв’язок задачі досягається при
.
Оскільки
містить дробову частину, то знову
розв’язуємо дві задачі:
а) (14.3),
(14.4) за умови
б) (14.3),
(14.4) за умови
Розв’язуємо задачу а):
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
x1 |
y4 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
|
|
|
y3 |
1 |
1 |
0 |
|
y3 |
|
|
0 |
y4 |
3 |
0 |
1 |
|
x2 |
3 |
0 |
|
|
b |
y3 |
y4 |
|
-11 |
-2 |
-3 |
y1 |
1 |
-1 |
-4 |
y2 |
1 |
-2 |
-3 |
x1 |
1 |
1 |
0 |
x2 |
3 |
0 |
1 |
Відповідь:
.
Розв’язуємо задачу б):
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
y3 |
x2 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
-4 |
2 |
3 |
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
x2 |
12 |
1 |
4 |
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
8 |
2 |
3 |
y3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
x1 |
2 |
-1 |
0 |
y4 |
3 |
0 |
1 |
|
y4 |
3 |
0 |
1 |
|
b |
y3 |
y2 |
|
-12 |
-6 |
-1 |
y1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
x1 |
2 |
1 |
0 |
y4 |
|
|
|
Відповідь:
.
Задача знову розпадається на дві:
а) (14.3),
(14.4),
б) (14.3),
(14.4),
.
Розв’язуємо задачу а):
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
y3 |
x2 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
-4 |
2 |
3 |
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
x2 |
12 |
1 |
4 |
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
8 |
2 |
3 |
y3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
x1 |
2 |
-1 |
0 |
y4 |
2 |
0 |
1 |
|
y4 |
2 |
0 |
1 |
|
b |
y3 |
y4 |
|
|
b |
y2 |
y4 |
|
-10 |
2 |
-3 |
|
|
-12 |
-1 |
0 |
y1 |
4 |
1 |
-4 |
|
y1 |
3 |
|
|
y2 |
2 |
2 |
-3 |
|
y3 |
|
|
|
x1 |
2 |
-1 |
0 |
|
x1 |
3 |
|
|
x2 |
-2 |
0 |
1 |
|
x2 |
2 |
0 |
1 |
.
Розв’яжемо задачу б):
|
b |
x1 |
x2 |
|
|
b |
x1 |
y4 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
-9 |
2 |
3 |
y1 |
14 |
1 |
4 |
|
y1 |
0 |
1 |
4 |
y2 |
12 |
2 |
3 |
|
y2 |
3 |
2 |
3 |
y3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
y3 |
-2 |
-1 |
0 |
y4 |
-3 |
0 |
-1 |
|
x2 |
3 |
0 |
1 |
|
b |
y1 |
y4 |
|
-9 |
-2 |
5 |
x1 |
0 |
1 |
4 |
y2 |
3 |
-2 |
-5 |
y3 |
-2 |
1 |
4 |
x2 |
3 |
0 |
-1 |
Відповідь: задача розв’язку не має. Область порожня. Порівнюючи всі розглянуті випадки, одержимо
Аналіз всіх можливих варіантів методу ланцюгів і границь дає можливість зобразити їх наступною схемою (рис. 2).
рис. 2