Завдання для самостійних і контрольних робіт

Розв’язати задачі 1-32 у цілих числах або довести, що вони не мають розв’язку.

1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30
31		32

15. Виробничо-транспортна задача

Розглянемо об’єкт економічної діяльності, який складається з виробничого блоку для забезпечення виробництва , де – кількість виробленої продукції і-го асортименту. Крім того, забезпечується доставка виробленої продукції до місця споживання (пунктів споживання). Пункти споживання можуть бути різні: склади, магазини, підрозділи, де продукція виступає як сировина, та ін. Усі вони є складовими частинами єдиної економічної системи (об’єкта економічної діяльності). Будемо вважати, що діяльність такої системи підпорядкована єдиній меті – максимізації прибутку:

(15.1)

де – вартість одиниці продукції і-го асортименту. Для простоти міркувань, розглядатимемо замкнену систему (без суттєвих зовнішніх впливів), що задовольняє умови рівноваги за В.В. Леонтьєвим [2]:

(15.2)

де – технологічна (нормативна) матриця коефіцієнтів, а – кількість кінцевої продукції і-го асортименту; а також умови:

(15.3)

де запаси ресурсів, що використовуються в процесі виробництва, m – їх кількість, – нормативи використання j-го ресурсу для виробництва одиниці і-го продукту.

Транспортні витрати зменшують розмір прибутку, тому мають бути мінімальними. Суть досліджуваної проблеми полягає в гармонізації обсягу виробництва продукції з витратами на її транспортування для оптимізації прибутку так, щоб виконувалися умови (15.2), (15.3).

Для розв’язання даної задачі пропонується наступна схема. Будемо вважати, що всі величини задачі (15.1)-(15.3) мають вартісну сутність.

1. Розширимо матрицю А, додаючи до неї (n+1)-й стовпчик та (n+1)-й рядок . Елементи матриці є технологічними коефіцієнтами витрат і-ї продукції для забезпечення одиничних перевезень (наприклад, перевезень вартістю в 1000 грн.). Елементи – розмір сумарних транспортних затрат для доставки одиниці j-ї продукції до місця призначення. Тоді система (15.2) має вигляд:

(15.4)

де , ; – роз-ширена та доповнена матриця сумарних транспортних затрат на перевезення всієї продукції системи;

де – сумарні транспортні затрати на перевезення продукції і-го асортименту. Покладемо або будемо вважати, що затрат на власні перевезення немає.

2. Надалі опустимо знак «–» у формулі (15.4), і додамо знак «N». Тоді (15.4) можна переписати так:

3. Знаходимо обернену матрицю , де

4. Знаходимо

5. Підставляємо в (15.1) та (15.3) і зводимо подібні члени відносно .

6. Розв’язуємо ЗЛП:

де – компоненти вектора .

7. Знаходимо .

8. Формуємо ЗТТ:

ППk ПВk			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

де – вартості перевезень одиниці продукції з і-го пункту відправлення в j-й пункт призначення для продукції k-го виду; – кількість споживачів k-го виду продукції, – кількість її виробників; та – відповідно пункти відправлення та призначення продукції k-го виду.

9. Обчислюємо . Покладемо , одержаними числами в матриці , де – елементи k-го стовпчика матриці повних затрат . В пп. 3-7 покладаємо замість знака «0» у змінних знак «1». Повторюємо виконання пп. 3-8, поступово нарощуючи на одиницю доти, доки виконується умова:

де – наперед задане число, яке характеризує точність обчислень і задається ОПР;

10. Розв’язком виробничо-транспортної задачі будуть та , які відповідно складають , . Остання компонента вектора визначає сумарні оптимальні транспортні витрати економічного об’єкта.