4.2. Етап засвоєння

4.2.1. Формулювання теореми, оволодіння її змістом, структурою, призначенням

Якщо тригонометричне рівняння має вигляд

cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1, то його рішення можна представити у виді

Ця теорема дозволяє нам вирішувати тригонометричні рівняння виду

cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1. Почему ǀ a ǀ ≤ 1? Згадаємо властивість косинуса, а конкретніше - безліч значень косинуса. Важко собі уявити, що в коротенькій формулі міститься нескінченне число кутів - рішень нашого рівняння. Звідки ми бачимо, що коренів рівняння саме нескінченне число? Цей факт міститься в шматочку формули .

Структура теореми:

Роз'яснювальна частина: Дано тригонометричне рівняння.

Умова: 1) воно має вигляд cos x = а,

2) ǀ a ǀ ≤ 1.

Вимога: його рішення можна представити у вигляді

Ця теорема складна, тому що в ній дві умови і одна вимога

4.2.2. Формування орієнтовної схеми доказу

Доведемо, що якщо тригонометричне рівняння має вигляд

cos x = а, где ǀ a ǀ ≤ 1, то його рішення можна представити у виді

1. Малюємо одиничне коло.

2. Відмічаємо на ній косинус, рівний а.

3. Відмічаємо кути, косинус яких рівний а (звертаємо увагу на парність косинуса).

4. Скористаємося періодичністю косинуса і запишемо рішення тригонометричного рівняння.

4.2.3. Проведення доведення

Розглянемо доказ за допомогою одиничного кола. Відмітимо на одиничному колі косинус, рівний .( значення косинуса не переверщує 1, отже, ǀ a ǀ ≤ 1) Радіус - вектор повертаємо за годинниковою стрілкою на кут, косинус якого рівний , які відповідають цьому значенню косинуса: це и (парність косинуса). Період косинуса , отже, очевидно, що при повороті на 360° будь-яка кількість разів радіус - вектор займає те ж положення, значить, усі рішення нашого рівняння можна представити формулою

.

4.3. Этап закріплення

Формулювання питань для закріплення теореми.

Яка формула рішення тригонометричного рівняння виду

cos x = а? При якому а рішення існує?

1. Виділите в теоремі роз'яснювальну частину, умову, укладення.

2. Чи має сенс рівняння cos x =3? І чому?

3. Скільки розв`язків має рівняння cos x = -1,5? cos x = 0?

Розгляд зворотних, протилежних тверджень, пов'язаних з теоремою.

Зворотне твердження: Якщо рішення тригонометричного рівняння можна представити у виді , те це тригонометричне рівняння має вигляд cos x = а, причем ǀ a ǀ ≤ 1.

Протилежне твердження: Якщо тригонометричне рівняння не має вигляду cos x = а или ǀ a ǀ >1, то рішення його не можна представити у виді .

Зворотне протилежному твердження: Якщо рішення тригонометричного рівняння не уявно у виді , те це рівняння не має вигляду cos x = а, либоǀ a ǀ >1.

Завдання базового і основного і просунутого рівнів складності.

Базовый рівень:

1. Розв`язати рівняння: .

1. ,

2. ,

3. .

2. Скільки коренів має рівняння

?

3. Розв`язати рівняння: .

4. Знайти область знчення функції .

5. План-конспект уроку

Мета: систематизувати і узагальнити знання, і уміння учнів з даної теми; підготувати їх до тематичного оцінювання; розвивати мислення, пам'ять; виховувати уважність, відповідальність, культуру математичних записів.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань учнів.

Хід уроку

І. Організацій момент

Учитель повідомляє тему, мету уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірка наявності домашнього завдання.

2. Дати відповіді на запитання.

ІІІ. Усне опитування

1. Яке рівняння називається найпростішим?

2. Яке рівняння називається однорідним?

3. Яке рівняння зводиться до алгебраїчного квадратного?

4. Яке рівняння розв'язується винесенням спільного множника за дужки?