3 Операторные уравнения и передаточные функции системы.

Структурная схема

3.1 Дифференциальные уравнения звеньев в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях

Уравнения системы в оригиналахОператорные уравнения

3.2 Передаточные функции звеньев системы

3.3 Составляем структурную схему системы

Рисунок – 3 Структурная схема исследуемой САР

преобразуем структурную схему:

заменяем встречно-параллельное соединение звеньев 7 и 8 одним звеном 4, и переносим сумматор влево через звено 4

передаточная функция 4-го звена

где T3=0.028, T4=0.072

Рисунок – 4 Преобразованная структурная схема исследуемой САР

4 Передаточные функции двигателя для угловой скорости по напряжению на якоре и по моменту сопротивления.

4.1 Передаточная функция двигателя для угловой скорости по напряжению на якоре

4.2 Передаточная функция двигателя для угловой скорости по моменту сопротивления

5 Передаточные функции, характеристические уравнения замкнутой и разомкнутой систем, операторные уравнения для регулируемой величины и ошибки

5.1 Передаточная функция разомкнутой системы

характеристическое уравнение разомкнутой системы:

5.2 Передаточная функция замкнутой системы для регулируемой величины Ωпо задающему напряжениюU_Зпри моменте сопротивленияM_C =0.

характеристическое уравнение замкнутой системы

5.3 Передаточная функция замкнутой системы для регулируемой величины Ωпо моменту сопротивленияM_C при задающем напряженииU_З=0_.

5.4 Передаточная функция замкнутой системы для ошибки U_P по задающему напряжению U_З при моменте сопротивления M_C =0.

5.5 Передаточная функция замкнутой системы для ошибки U_Pпо моменту сопротивленияM_C при задающем напряженииU_З=0_.

5.6 Операторные уравнения для регулируемой величины и ошибки

Согласно принципу суперпозиции изображение регулируемой величины:

,

аизображение ошибки:

6 Аналитические выражения статических характеристик

6.1 Установившаяся ошибка U_Pуст.

Установившаяся ошибка U_Pуст в системе определяется по изображению ошибки

(пп. 5.6)

при условии, что U_З=U_З0=const, a M_C=M_C0=const.

Для нахождения аналитического выражения установившейся ошибки воспользуемся формулой, в соответствии с которой установившееся значение произвольной координаты y(t), если оно существует, может быть вычислено по изображению этой координаты Y(p) согласно теореме об установившемся значении оригинала.

имеем:

Подставим изображение задающего напряжения и момента сопротивления, учитывая то, что U_З(t)= U_З0, а М_С(t)= М_С0

Имеем:

6.2 Установившаяся скорость Ωуст в замкнутой системе

изображение скорости:

, где

;

Подставим изображение задающего напряжения и момента сопротивления, учитывая то, что U_З(t)= U_З0, а М_С(t)= М_С0

формула для вычисления установившейся скорости Ω_ycm

Система является статичной, т.к. установившаяся ошибка не равна нулю

6.3 Установившаяся скорость Ωr_уств разомкнутой системе

Считаем U_П (t)= U_П0 =const, M_C (t)= M_C0 =const, тогда

, где

- передаточная функция двигателя для угловой скорости по напряжению на якоре

- передаточная функция двигателя для угловой скорости по моменту сопротивления

7 Определение коэффициента усиления разомкнутой системы (К), обеспечивающего статическое изменение регулируемой величины ΔΩ_ст не более 1.5 рад/с при изменении момента сопротивления M_C от 0 до 1200 (Н·м)

Аналитическое выражение для установившейся скорости

Считаем U_З (t)= U_З0 =const, получаем

,

учитывая, что Mc₀₁=0, Mc₀₂=1200, а Н·м, получаем неравенство:

, решаем неравенство относительно общего коэффициента усиления разомкнутой системы

→ , подставив числовые значения параметровc= 1.35, Rя=0.03, получим: , учитывая, что коэффициентыKдс и Kп заданы, находим ,.

8 Статические характеристики Ω(M_C) замкнутой и разомкнутой систем при значении скорости холостого хода Ω₀ =150 рад/с.

8.1 Замкнутая система

установившаяся скорость в замкнутой системе (пп. 6.2)

В этой формуле первое слагаемое – скорость холостого хода (при Мс=0).

Получаем статическую характеристику замкнутой системы:

Рисунок – 5 Статическая характеристика замкнутой системы

8.2 Разомкнутая система

Установившаяся скорость в разомкнутой системе (пп. 6.3)

Рисунок – 6 Статическая характеристика разомкнутой системы

10 Синтез последовательного корректирующего устройства методом логарифмических частотных характеристик

Желаемая система должна иметь время регулирования (t_P) по задающему воздействию не более 0.5с и перерегулирование (σ) не более 20%. Последовательное корректирующее устройство включают непосредственно после элемента сравнения или после предварительного усилителя.

L_К=L_Ж–L_Н , где L_К – ЛАЧХ последовательной корректирующей цепи, L_Н – ЛАЧХ основной разомкнутой системы, L_Ж – желаемая ЛАЧХ системы, определяемая по заданным t_P и σ.

Определяем параметры желаемой ЛАЧХ:

Частота среза ω_C среднечастотной части L_Ж определяем по формуле , где, находим по заданному параметру времени регулирования,=21.4,возьмём ; для обеспечения приемлемого переходного процесса, через частоту, проводим отрезок с наклоном

Величине перерегулирования 20% соответствует ,, запас влево и вправо, от частоты среза

Низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ повторяет низкочастотный участок нескорректированной, частота сопряжения

Для упрощения передаточной функции корректирующего устройства, вправо продлим среднечастотный участок до частоты

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ совпадает с высокочастотной частью ЛАЧХ нескорректированной системы, сопряжение среднечастотной и высокочастотной частей ЛАЧХ производим отрезком с наклоном -40

Частота сопряжения

Желаемая ЛАЧХ имеет следующее уравнение

, где

T1=0.7, T2=0.0028, Tп=0.01

Находим ЛАЧХ корректирующего устройства

L_КУ=L_Ж–L_НСК

Передаточная функция корректирующего устройства:

соответствует схеме рисунок 11

для такого RC контура

Пусть C1=C2=1мкФ, тогда

кОм

кОм

Рисунок – 11 Схема корректирующего устройства