1.3. Косвенные измерения.

Пусть искомая величина у измеряется косвенным методом, т.е. является функцией независимых величин:

.

Наиболее вероятное значение величины у:

. (18)

Поскольку каждое значение (i = 1, 2…n) измерено со своей погрешностью, то и у_изм вычисляется с некоторой погрешностью, равной:

(19)

Относительная погрешность:

(20)

Доверительная вероятность Р будет такой же, как и для погрешности прямых измерений (для всех она должна быть одинаковой).

Если в лабораторной работе не требуется строгий расчет погрешности, то можно воспользоваться более простыми (естественно, менее точными), оценочными методами. Рассмотрим три таких метода:

1. метод подсчета цифр (МПЦ);

2. метод границ (МГ);

3. метод границ погрешностей (МГП).

п.1. Метод подсчета цифр.

Использование этого метода обеспечивает получение результата с точностью, соответствующей точности исходных данных.

Погрешность результата по МПЦ принимается равной 2 – 3 единицам разряда последней цифры ответа.

Для повышения точности этого метода рекомендуется проводить прямые измерения с наиболее возможной для используемых приборов точностью.

п.2. Метод границ.

Последовательность действий при использовании этого метода следующая:

1. проводят прямые измерения и записывают результат в интервальном виде:

;

2. определяют нижнюю и верхнюю границы прямого измерения:

(21)

3. рассчитывают нижнюю и верхнюю границы косвенно измеряемой величины у по формулам (таблица 3).

Таблица 3. Правила подсчета нижней и верхней границ.

Вид функции у	НГ (у)	ВГ (у)
у = х1 + х2	НГ(х1) + НГ(х2)	ВГ(х1) + ВГ(х2)
у = х1 - х2	НГ(х1) - ВГ(х2)	ВГ(х1) – НГ(х2)
у = х1  х2	НГ(х1)  НГ(х2)	ВГ(х1)  ВГ(х2)
у = х1 : х2	НГ(х1) : ВГ(х2)	ВГ(х1) : НГ(х2)
у = хn	(НГ(х))n	(ВГ(х))n
у = lg x	lg (НГ(х))	lg (ВГ(х))
у = sin x	sin (НГ(х))	sin (ВГ(х))
у = cos x	cos (ВГ(х))	cos (НГ(х))
у = tg x	tg (НГ(х))	tg (ВГ(х))

При округлении значение нижней границы округляется с недостатком, а верхней – с избытком;

4. находят значение измеряемой величины как среднее арифметическое ее границ:

; (22)

5. рассчитывают абсолютную и относительную погрешности:

(23) . (24)

п.3. Метод границ погрешностей.

В основе этого метода лежит дифференцирование. Косвенно измеряемая величина у (18) определяется с некоторой погрешностью у (т.к. х_i измерены с погрешностью ). Поскольку ∆x_i « y и ∆y_i « x, можно перейти к дифференциалам этих величин. Тогда относительная погрешность будет:

(25)

,

а абсолютная погрешность:

, (26)

где y определяется формулой (18).

Для того, чтобы определить верхнюю границу погрешности алгебраическое суммирование погрешности заменяют арифметическим.

Выражение для относительных и абсолютных погрешностей, вычисляемые по формулам (25) и (26) зависят от вида функции y. Наиболее часто встречающиеся представлены в таблице 4.

Таблица 4. Формулы для абсолютных и относительных погрешностей.

Вид функции y	Абсолютная погрешность y	Относительная погрешность y/y
х1+х2	х1+х2
х1 – х2	х1+х2
С  х	С  х
х1  х2