Конечные и бесконечные мн-ва. Равномощность. Счетные и не счетные мн-ва.
Опр
Мн-ва
A
и B
наз. Изоморфными (эквивалентными) A
B,
если
биекция f:
A
B.
Биекция осуществляет взаимно-однозначное
соответствие между элементами мн-в А и
В. Отношение изоморфизма на любой
совокупности множеств является отношением
эквивалентности т.е.
Рефлексивность A А т.к
:
A
A
– биекцияСимметричность A B, то В А, т.к A B => биекция
:
B
AТранзитивность Если A B => f: A B и В С => g: B C, то A С
Биект. – f°g: A C => A С
Кол-во элементов мн-ва наз. Мощностью множества или кардинальным числом
Опр
А и В наз. Равномощными, если
биекция A
B,
т.е. мн-ва А и В равномощны, если они
изоморфны
Опр Мн-во наз. Конечным, если оно не равномощно ни одному собственному подмножеству
(рассмотреть натуральные и четные, соотнести их, они равномощны)
Опр Бесконечным мн-вом наз. Мн-во из которого можно выделить равномощное ему собственное подмножество
Опр Кардинальное число наз. Конечным (бесконечным), если оно явл. Мощностью конечного (бесконечного) мн-ва
Мн-во равномощно мн-ву N (мн-ву натуральных чисел) наз счетным, если его эл-ты можно пронумеровать
{
}
– по опр. Относится к счетным мн-вам
(доказательство что Q счетно, что R несчетно)
Мощность
R
(действительных) чисел =
наз. Мощностью континуума, если А
R
или |A|=|R|=
,
то А назыв. Континуальным.
Т1. Всякое подмн-во счетного мн-ва конечно или счетно.
Т2. Объединение счетного числа счетных мн-в – счетно
Т3. Всякое бесконечное мн-во А – содержит счетное мн-во B:A\B – счетное мн-во
Т4.
Всякое бесконечное мн-во А
В
равномощное А (A
B),
причем А\В – бесконечное мн-во
Т5. Теорема Кантора-Бернштейна
Если для двух мн-в А и В каждая изоморфна части другого, то эти мн-ва изоморфны между собой |A|≤|B|, |B|≤|A| => |A|=|B|
Т6.
Мн-во всех подмн-в в произвольном мн-ве
А
имеет мощность большую, чем мощность
мн-ва А.
|P(A)|.
Эта теорема верна и для
.
Мн-во
всех подмножеств имеет вид Р(А) = {
}
т.е. =>
=>
> |A|
T7.
|P(A)|=
|A|
=
=> |P(A)|=
=>|P(A)|>|A|=>
>
Алгебраические операции. Св-ва б.А.О.
Опр
Бинарной алгебраической операцией на
мн-ве А наз. Отображение
f:(Dom f=A
A)
A
A
A
Для
которого справедливо следующее: a,b
A
A
!
c
A:
(a,b)
c
; (f(a,b,)=c)
Опр
n-местной
алг. Операцией на мн-ве А наз f:
из
A
т.е. Dom
f
⊆
Нуль-арные операции отличают некоторый элемент из множества А
Опр. Частичный n-местной алгебраической операцией на множестве А называется отображение f:A^n->A если область определения отображения f не совпадает с множеством A^n, т.е. Domf c A^n
На множестве А может быть задано много ращзличных операций. Если нужно выделить одну из них то используют скобки (А,*)
Говорят что операция * определяет на множестве А алгебраическую структуру или что (А,*) – алгебраическая структура (алгебраическая система)
Св-ва б.а.о.
1.Коммутативность
Б.а.о.
* заданная на мн-ве А
, коммутативна, если
a,b
A
a*b=b*a
2.Ассоциативность
б.а.о. * на А , ассоциативна, если a,b,c A (a*b)*c=a*(b*c)
3.Дистрибутивность
Б.а.о * на А дистрибутивна, если a,b,c A
а*(b
c)=(a*b)
(a*c)
– слева относительно *
(a b)*c=(a*c) (b*c) – cправа относительно *
4. б.а.о. * на А сократима, если a,b,c A
а*с = b*c => a=b (справа)
с*a=c*b => a=b (слева)
«+,-» - сократимые б.а.о.
“
”
– не
сократимые б.а.о
5. Нейтральный элемент
Элемент е A (А ) наз. Левым (правым) нейтральным относительно б.а.о * на А, если a A: е*а=а (а*е=а)
Элемент е A (А ) наз. нейтральным относительно б.а.о * на А, если a A: е*а=а*е=а
Т1 Если нейтральный элемент на множества А существует то он единственный
■e,e’ – нейтральные элементы на множестве А относительно *
e=e*e’=e’=>e=e’■
6. Симметричный элемент
Элемент a’ A (А ) наз. Левым (правым) симметричным для a A если a’*а=e (а*a’=e)
Элемент a’ A (А ) наз. симметричным для a A если a’*а=а*a’=e
a' обозначается a-1 при этом а называется симметризуемым
Т2 Если бао * ассоциативна на непустом А и элемент а симметричен то существует единственный симметричный элемент для а
■a’, a’’ – симметричные для а элементы
a’*a=a*a’=e, a’’*a=a*a’’=e
a’=a’*e=a’*(a*a’’)=(a’*a)*a’’=e*a’’=a’’=>a’=a’’■
Опр. Подмножество В множества А называется замкнутым относительно операции * если для любых a,b принадлежащих В а*b принадлежит В
Зам. Если для обозначение операции используется знак сложения «+», то применяется адитивная форма записи
a+b-сумма,0-нейтральный,-а – симметричный (противоположный)
Если используется операция «∙» - мультипликативная форма записи
a∙b-произведение,1-нейтральный,a-1 – симметричный (обратный)