Сложение колебаний одного направления.
Пусть имеются два гармонических колебания:
Тогда находим результат сложения этих колебаний:
И амплитуду результирующего колебания:
Два важных случая:
1)
– колебания синфазные,
2)
– колебания противофазные,
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, которые называются фигурами Лиссажу.
Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде:
где
α — разность фаз обоих колебаний, А и
В равны амплитудам складываемых
колебаний. Уравнение траектории
результирующего колебания определим
исключением из формул (1) времени t.
Записывая складываемые колебания как:
,
и
заменяя во втором уравнении
на
и на
,
найдем после несложных преобразований
уравнение эллипса, у которого оси
ориентированы произвольно относительно
координатных осей:
Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:
-
в этом случае эллипс становится отрезком
прямой:
-
в этом случае уравнение станет иметь
вид:
Математический маятник.
Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.
Момент инерции математического маятника:
Где
– длина маятника.
Период
колебаний:
Физический маятник.
Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс Стела.
при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом
где
— приведенная длина физического
маятника.
Пружинный маятник.
Пружинный маятник — это груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы
,
где
— жесткость пружины. Уравнение движения
маятника в отсутствие сил трения
пружинный
маятник совершает гармонические
колебания по закону:
с
циклической частотой:
и
периодом:
(1)
Формула
(1) справедлива для упругих колебаний
в пределах, в которых выполняется закон
Гука, т.е. когда масса пружины мала по
сравнению с массой тела. Потенциальная
энергия пружинного маятника равна:
