3 H. И. Гельперин

65

Если / <^ F, то с достаточной степенью точности расчетов можно принять:

w = -р=Г ^2gW = <pV2jH (I.37a)

Здесь ф = \IV 1 + £ — коэффициент скорости истечения, изменяющийся в пределах 0,960—0,994 в зависимости от толщины днища.. Из выражения (1.37а) видно, что скорость истечения жидкости меньше скорости ее свободного падения ]/2gH.

Расход жидкости через отверстие оказывается, однако, меньше произведения fw, так как сечение вытекающей струи /_с < /, особенно при истечении из отверстий в тонких стенках и с за­остренными краями. Отношение площади сечения струи к площади отверстия fjf = е, называемое коэффициентом сжа­тия струй, зависит не только от толщины стенки, но и от формы отверстия и его расположения относительно боковых стенок аппарата; на практике значения е для круглых отверстий дости­гают 0,60—0,64. Таким образом, действительный расход жидкости при истечении из отверстия в дне сосуда выразится так:

V = f_cw - eyf V"2gH = ii„f V2gH (1.38)

Величина р_и = е<р называется коэффициентом рас­хода при истечении и определяется опытным путем; для круг­лых отверстий в среднем р_н = 0,62.

Коэффициент расхода р„ значительно возрастает при истече­нии жидкости через насадок (штуцер), представляющий собой короткую трубку, приставленную к отверстию (рис. 1-15, б), длина которой в 3,5—4 раза больше диаметра отверстия. Струя при выходе из отверстия в насадок сжимается, но при указанной длине его успевает расшириться и вытекает полным сечением. Однако и в данном случае р_н < 1-вследствие потери напора при входе в насадок и последующем расширении струи. Для цилин­дрического насадка р_и = 0,82; для расходящегося конического р„ = 0,45; для сходящегося конического (с углом при вершине 13° 30') р_и = 0,963; для коноидального р_и = 0,97. Заметим, что приведенные значения р_и установлены в опытах по истечению воды и являются несколько завышенными в случае более вязких жидкостей; зависимость величины р_и от вязкости, однако, до сих пор не установлена.

При истечении жидкости из большого отверстия в боковой стенке сосуда (рис. 1-15, в) напор не одинаков по высоте отверстия, а возрастает от Н_х в верхней его части до Я₂ в нижней части. Для определения расхода в данном случае выделим в площади отвер­стия элементарную площадку высотой dz, которую можно рассма­тривать как отверстие, находящееся под постоянным напором г. Расход через такое отверстие, согласно уравнению (1.38), выра­зится так: dV = p„6j/2gz dz. Интегрируя последнее уравнение от 0 до V и от z = Я_х до г = Н_г, получаем:

V = (2/3) ц_аЬ VTg (tff - Hf²) (I -39) .

В случаях, когда высота отверстия очень мала по сравнению с Я, и Я₂, можно определять расход по формуле (1.38), подстав­ляя значение Я, отсчитанное от центра отверстия.

В некоторых химических аппаратах на пути потока жидкости устанавливают тонкий перегораживающий порог, через который происходит перелив жидкости струей плоского сечения толщи­ною h (рис. 1-15, г). Такое устройство называется водосли­вом. Вдали от порога уровень жидкости над ним Я > h, поэтому скорость подхода жидкости к порогу намного меньше скорости переливающейся струи и может практически не учитываться. В таком случае расход жидкости через водослив можно рассма­тривать как истечение через отверстие (без верхней стороны) высотой h и шириною, равной ширине порога Ь:

V = ц„й/1 lA2g (Н - h) (б)

Опыт показывает, что толщина струи над порогом соответ­ствует максимальному расходу при данном располагаемом напоре. Следовательно, толщина струи h должна удовлетворять условию:

откуда h = ²/₃ Я. Комбинируя выражение для h с выражениями для V, получим:

V = (2/3 1^3) ц_ий V2~iH VH = mbH V2g~H (1.40)

где т = (2/3 V3) ц„ « 0,4.

Истечение при переменном уровне. Опорожнение аппаратов сопровождается понижением уровня жидкости во времени, по­этому истечение происходит с падающей скоростью. Представим себе аппарат с переменным сечением F по высоте, снабженный отверстием с площадью / для частичного или полного опорожне­ния (рис. 1-16, а). Первоначальную высоту уровня (напора) обозначим через Я. Через некоторое время после начала истече­ния уровень жидкости окажется на некоторой высоте z, где пло­щадь сечения сосуда равна F_c. Если за элементарный промежуток времени ^уровень жидкости в аппарате понизится на величину dz, то через отверстие уйдет объем жидкости —F_cdz, который, со­гласно уравнению (1.38), можно выразить следующим образом:

—F_c dz = \ijV2gz dx. Отсюда находим время полного опорож­нения аппарата:

о

Уравнение (1.41) позволяет определить время опорожнения (полного или частичного от Я до любого Я,) аппарата любой формы, если известна зависимость F_c = ф (г).

а

Рис. 1-16. К расчету истечения жидкости при переменном уровне:

а — истечение из сосуда произвольной формы; б — опорожнение горизонтальной цилин­дрической цистерны.

В простейшем случае, когда площадь поперечного сечения аппарата постоянна по высоте (F_c = const, вертикальный аппарат цилиндрической или призматической формы), получим:

т = 2 (F_c Vfi/iiJ V2g~) = 2F_cH/ix_af УЩП (в)

Произведение F_CH выражает начальный объем жидкости в опорожняемом аппарате, а р_и/ V2gH —объем вытекающей жидкости в 1 с при Я = const. Полученное нами выражение (в) показывает, что для опорожнения аппарата постоянного сечения требуется в 2 раза больше времени, чем для истечения из аппарата такого же объема жидкости при Я = const.

В качестве примера истечения жидкости из аппарата пере­менного сечения рассмотрим опорожнение горизонтальной цилин­дрической цистерны длиной / и радиусом сечения R (рис. 1-16, б).-В данном случае для определения времени т необходимо предва­рительно найти зависимость F_c от z. Легко видеть, что F_c = = 2а/; a = V R² — (г — Rf \ F_c = 21 V2Rz — z². Таким образом

2R

_т_ ²¹ (J^EiEE_{d2 =} ± L__(2/?)3/2