6. Гидродинамическое подобие

Процессы химической технологии часто сопровождаются изменением большого числа рабочих параметров (давления, ско­рости, температуры, вязкости, плотности, геометрических разме­ров и др.), взаимосвязь которых либо не поддается точному мате­матическому описанию, либо приводит к трудно разрешимым диф­ференциальным уравнениям. Примером могут служить выведен­ные выше уравнения Навье—Стокса, решение которых возможно только в отдельных частных случаях. Это обстоятельство выну­ждает к экспериментальному определению указанной взаимо­связи, осуществляемому обычно не на натурных объек­тах (аппаратах или машинах), а на их моделях. Однако чтобы полученные результаты опытов можно было распростра­нить на натурные объекты, сама модель, а также направление и диапазон эксперимента должны удовлетворять определенным условиям. Эти условия устанавливает теория подобия; они сводятся к тому, что между моделью и натурным объектом должно существовать подобие геометрических размеров, полей физических величин и свойств системы на ее границах.

Отношение однородных сходственных величин у натурного объекта и модели называется константой подобия. Так, константа геометрического подобия натурного и модельного тру­бопроводов выразится: m_t = — й\1й_х, где 1%, d_% и l_u d, — длины и диаметры этих трубопроводов. Константы подобия плот­ностей (р), вязкостей (р), давлений (р), скоростей (до) натурного и модельного потоков в сходственных точках и в соответствен­ные моменты времени выразятся так:

^тр - Pi/Pi- ^ти = И2/М1; ^тр = PjPt> ^mw ' Щ1Щ и т. д.

Если в рассматриваемом процессе свойства системы изме­няются во времени, то константа временного подобия пн = T₂/T_t указывает на то, что частицы жидкости в натурном и модельном трубопроводах проходят геометрически подобные траектории за промежутки времени, находящиеся в постоянных соотношениях. Легко видеть, что при помощи констант подобия параметры на­турного трубопровода можно выразить через одноименные пара­метры модельного:

l_t = mil_t; d₂ = m_dd_l; р_а = m_pPl; ц₂ = т_др₁; р₂ = т_рр₁; w₂ = m_mw_l (а)

Подобие геометрических и физических параметров является необходимым, но недостаточным условием адекватности модели и натурного объекта. По принципу Ньютона, требуется еще, чтобы в сходственных точках геометрически подобных потоков отноше­ния действующих сил были одинаковыми. В потоке жидкости, как было показано выше, действуют массовые (веса, инерции) и поверх­ностные (давления, трения) силы. Для выявления отношения этих сил напишем уравнения Навье—Стокса для модельного и натур­ного потоков (эти уравнения идентичны для всех осей координат, поэтому ограничимся уравнением движения вдоль оси х):

fa _v , <Ч, I ^d2wn , , ^д2а>ч \ „

дХ, ""^ UX, «\ _дх2 ' _%2 ■ Ц

йп„ dwl I d*w_X9 dbv_xo d*w_x, \

^{£-M. + *-I^-*(-jf+n5f + -if)-o (•)}

Так как под массовой силой X здесь подразумевается сила тя­жести, то величины Х_х и X._z заменим ускорениями свободного па­дения gi и g₂, причем по условию подобия g₂ = m_gg_x. С помощью соотношений (а) заменим все величины в уравнении (в) на одно­именные величины для модельного потока:

^тР др, , dw_.^__m^_{rfl + mo}__.__

и. / ²

^д2ш'ч , ^д2тч , ^d2w*i \ _(в<)

т\ \ дх\ оу\ дг~_х

Так как модельный и натурный потоки могут отличаться друг от друга не только геометрическими размерами и скоростями, но и физическими свойствами жидкостей, то числовые значения коэф­фициентов в написанных уравнениях могут быть различными. Подобными, однако, являются процессы, которые описываются одними и теми же уравнениями, что в рассматриваемом нами слу­чае возможно лишь при

т_р/т₍ = m_pm_g - т_р «/m,) = /п_д (mjmj) (г)

Рг _t Щ _t 1 Pi ' Щ ' l\ (IV)

Подставив в последние равенства значения констант подобия, получим:

Pi w\ k (Ш)

Ргк ₌ Ря.. Jh. Pik Pi 8i (i) (id

Из равенства выражений (I) и (III), (II) и (III), (III) и (IV)

находим следующие три безразмерных комплекса, являющихся критериями гидродинамического подобия потоков жидкости:

_Р2_ ₌ _Pi_ ₌ _Р_ _{= Е} JhbL ₌ 3ik. ₌ !L ₌ F_r-_Р2ш| р,^ Р^² ' ц| w\ и>

Р₂ Pi Р

Полученные критерии гидродинамического подобия выражают соответственно соотношения сил давления и инерции, сил тяжести и инерции, сил инерции и трения (вязкости); они называются соот­ветственно критериями Эйлера (Ей), Фруда (Fr) и Рейнольдса (Re). Равенство этих критериев у модельного и натурного потоков яв­ляется необходимым и достаточным условием их гидродинамиче­ского подобия.

Таким образом, функциональная зависимость между отдель­ными физическими величинами, входящими в уравнения Навье— Стокса, может быть заменена зависимостью между критериями по­добия:

f (Eu, Re, Fr) = 0 (д)

Явный вид зависимости (д) находится на основании опытов, в которых можно варьировать не все физические величины в от­дельности, а критерии подобия. Один из этих критериев обычно содержит искомую величину и называется определяемым, а остальные, содержащие физические свойства системы, носят название определяющих. Так, например, если задача сво­дится к отысканию зависимости перепада давления Ар (потерян­ного напора h_u = Apfpg) в трубопроводе от геометрических раз­меров последнего, скорости и физических свойств жидкости, то определяемым является критерий Ей = Др/рдо²

², а критерии Re и Fr — определяющими:

Eu = / (Re, Fr) (е)

Заметим, что количественное влияние каждого из критериев Re и Fr на ход процесса может быть различное. В частности, при установившемся движении жидкости в промышленных трубопро­водах, когда определяющими являются силы инерции и трения, а роль силы тяжести пренебрежимо мала, ограничиваются учетом зависимости

Ей = ф (Re) (ж)

При изучении и математическом описании ряда технологиче­ских процессов часто удобнее пользоваться не отдельными кри­териями подобия, а их сочетанием. Так, например, путем сочета­ния критериев Re и Fr получаем критерий Галилея (Ga), выра­жающий соотношение сил трения (вязкости) и тяжести:

Ga = Re^Fr = (з)

РОчевидно, критерием Ga удобно пользоваться в тех случаях, когда непосредственное измерение скоростного поля в массе дви­жущейся жидкости практически невозможно (например, при есте­ственной конвекции, обусловленной разностью плотностей жид­кости из-за различия температур в разных точках ее объема). В тех случаях, когда конвективные потоки возникают под дей­ствием сил трения, тяжести и подъемной силы из-за разных плот­ностей (р_г и р₂) двух несмешивающихся жидкостей (или жидкости и твердых частиц), пользуются критерием Архимеда:

Ar = Ga-PJ^ = Re²

²Fr£i^ = -^.£^l£?- (_и)

Ра Рг Р Рг

7. Ламинарное движение ньютоновских жидкостей в трубах круглого сечения

Рассмотрим движение ламинарного потока жидкости в гори­зонтальной трубе, радиус которой равен R, а длина I (рис. 1-9). Так как движение ламинарное, то можно представить весь поток состоящим из ряда соосных кольцевых слоев, скорость которых возрастает от периферии к оси трубы; на внутренней поверхности трубы скорость жидкости, как уже известно, равна нулю. Выде­лим внутри потока геометрически подобный жидкостный цилиндр радиусом г и обозначим давления на его торцевые сечения через р_х и р₂. При установившемся течении сила давления р,лг² уравно­вешивается силой противодавления р_гпг^г и силой внутреннего тре­ния 2nrl\L J^-, где до —скорость течения. Поэтому можно написать

следующее уравнение динамического равновесия выделенного жидкостного цилиндра:

р_хпг² — р₂лг² — ^— 2я/7р. -^-^ = 0 (а)

(знак минус в скобках уравнения соответствует падению скорости с возрастанием радиуса г).

Решая уравнение (а) относительно до и интегрируя в пределах от г до R и соответственно от до, до 0, получим:

Уравнение (1.14), выражающее расход жидкости при ламинар­ном режиме ее течения в круглой трубе радиусом R и длиной /, называется уравнением Пуаэейля—Гагена.

Объемный расход жидкости можно выразить также произве­дением площади живого сечения потока на его среднюю скорость,

^л(Р1~^Ра) R* = л# ²до. Отсюда на-,

которую обозначим до, поэтому

О

тсюда находим уравнение кривой распределения скорости (профиля скоростей) в живом сечении рассматриваемого ламинар­ного потока жидкости:

■v = -£^& (*■-/«) (ИЗ)

Из уравнения (1.13), полученного впервые Стоксом, следует, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорости в живом сечении потока распределяются по закону параболоида вращения (см. рис. 1-9). При этом скорость максимальна на оси потока — соответственно г = 0:

Сопоставляя выражения (1.13) и (1.13а), находим:

ПУг/ИУмакс = 1 - (r/Rr (1136)

т. е. отношение скорости в любой точке сечения потока к скорости на его оси зависит только от безразмерного радиуса rlR, но не зависит от физических свойств жидкости и геометрических раз­меров трубы.

Для определения объёмного расхода жидкости в рассматривае­мом трубопроводе выделим в его сечении элементарное кольцо внутренним радиусом г и внешним радиусом г + dr (см. рис 1-9). Площадь этого элементарного кольца равна 2лг dr, поэтому эле­ментарный объемный расход жидкости через это кольцо при ско­рости до, выразится так: dV = 2лдо,г dr.

Подставим в уравнение для dV найденное выше значение до, и проинтегрируем его:

]dV= ^2П(Р1~^ ]{R*-r*)rdr о о

откуда

I/ _ " (Pi ~ Pi)

8ц/ * «■">

(1.15)

ходим выражение для средней скорости ламинарного потока:

Pi —Pt па

Сопоставляя выражения (1.13а) и (1.15), находим: до = 0,5до_макс, т. е. средняя скорость ламинарного потока в трубе круглого се­чения равна половине максимальной скорости (на оси потока).

Pi —Pt

Заменим в уравнении (1.15) динамическую вязкость \i через кинематическую (р, = vp) и решим это уравнение относительно (Pi — Pd/Pg = К-

PR

8/v

(в)

■ w

gR*

Из полученного выражения следует, что при ламинарном те­чении жидкости потерянный напор пропорционален средней ско­рости потока, как это и было установлено в опытах Рейнольдса.

(г)

Так как Re = доф/р = wdh, то выражение (в) можно пред­ставить в виде уравнения

64 l w*

Re d 2g

в котором d — 2R —диаметр трубопровода.

Сопоставляя выражения (г) и (1.12), находим формулу для рас­чета коэффициента гидравлического сопротивления при ламинар­ном движении жидкости в прямой трубе (канале):

b = 64/Re (1.16)

Заметим, что параболический профиль скоростей в сечении ламинарного потока жидкости устанавливается не сразу при ее входе в трубу, а на некотором расстоянии /_сх от входа, носящем название участка стабилизации. Потерянный напор на этом участке п'„ оказывается больше, чем на участке сформи­ровавшегося ламинарного потока той же длины. По имеющимся опытным данным:

/64 /_Ст , о лЛ ^w*

причем /_ст == 0,0575 й Re.

8. Ламинарное движение неньютоновских жидкостей в трубах круглого сечения

Рассмотрим движение ламинарного потока неньютоновской жидкости, для которой напряжение внутреннего трения выра­жается следующим образом:

Выделив в этом потоке геометрически подобный жидкостный цилиндр радиусом г, как и в случае движения ньютоновской жид­кости (см. рис. 1-9), напишем по аналогии уравнение динамиче­ского равновесия:

-[-*^.(#)•]-.. Ь-Ч^П'**

Отсюда получаем уравнение профиля скоростей в сечении ла­минарного потока рассматриваемой жидкости:

-L / а+1 а+К

_ю,₌ « (PxpPiV {_R~-_r ' ) (1.17)

^т а + 1 \ 2ц_п/ /

Максимальная скорость ш_макс будет на оси потока, где г = 0:

1

а / />, — р« \

И'макс

Расход жидкости через элементарное кольцо, ограниченное радиусом г и г 4- dr (см. рис. 1-9) в сечении потока, выразится так:

JL / а+1 а+1 \

г dr

Интегрируя последнее уравнение в пределах от г = 0 до г R, получим:

-L Г а+1 За+1

а + 1 \ 2ц_в1 } [^к 2 За + 1 — За+1

_ па /р₁-р₂\"_п—

за+iv^r; ^К

^R <^1Л8>

Для отыскания средней скорости потока w достаточно прирав­нять полученное выражение для объемного расхода величине nR²w:

— За+1

откуда

-L а+1

Путем подстановки в последнее уравнение величины п_п = = ———^=K~d~'~2g ^нах°Д^им выражение для коэффициента гид­равлического сопротивления:

г _п ⁸\ ■ (1-20)

Чтобы придать последней формуле вид, аналогичный ранее полученной для ламинарного потока ньютоновской жидкости, вос­пользуемся модифицированным значением критерия Рейнольдса (Re)_M:

64

Из выражений (1.17) и (1.17а) получаем следующее соотноше­ние скоростей в любой точке живого сечения (на радиусе г) и на оси потока:

0+1

юг/юникс = 1 - (rlR) ° (1.176)

Как и в случае ньютоновских жидкостей, отношение ш_г/ш_макс зависит только от безразмерного радиуса rlR.

откуда

_[т(^)Ч

Совершенно очевидно, что уравнения (1.17)—(1.20) справед­ливы не только для псевдопластических жидкостей, но и для дила-тантных, так как в обоих случаях сохраняется вид выражения (а).

Заметим также, что при а =1 все уравнения для рассматривае­мых жидкостей становятся тождественными соответственным урав­нениям для ламинарного движения ньютоновских жидкостей (см. раздел 7).

«г

Профили скоростей в сечениях ламинарных потоков ньютонов­ских, псевдопластических и дилатантных жидкостей описываются

r/r
0		Z< w S*V 3 1

тральная часть потока бингамовской жидкости, где радиус сече­ния равен г₀ и x_r < ty, будет двигаться как твердый стержень с по­стоянной скоростью w_e (рис. 1-10, в). Соответственно соотноше­нию (б) имеем: Ч_у = f(p_t — p₂)/2l)r_a; r₀ = 2h_y/p_l — р_г. Вокруг этого стержня, в пределах значений радиуса от г₀ до R, поток бу­дет ламинарным.

Для геометрически подобного цилиндра, выделенного в ла­минарном потоке бингамовской жидкости, уравнение динамиче­ского равновесия имеет следующий вид:

dw'

nr² (pj — р₂) — 2nd (ту — ftp = 0

откуда

Рис. 1-10. Распределение скоростей и напряжений внутреннего трения в сечеиии ламинарных потоков ие-ньютоновских жидкостей: о — профиль скоростей: 1 — нью­тоновская жидкость; 2 — псевдо­пластическая; 3 — дилатаитная; б — распределение напряжений внутреннего трення; в — профиль скоростей в сеченин потока бин-гамовской жидкости

(в)

Скорость движения стержнеобразного ядра потока выразится

так:

уравнением (1-17) соответственно при а — 1, а — V₈ и а = 3. Наглядное представление об этих профилях дают зависимости соотношений локальных и средних скоростей w,lw от безразмер­ного радиуса r/R. Эти зависимости

Wf_

W

(х)

а+1 1

За+ 1 'а+1

Рр

^{■pl^a(*8-'3)-*,(«-'.)] (I-2D}

R² — ■

r₀R

После подстановки найденного выше значения г₀ получим

(1.21а)

Ps \ 4/ Pi —Pi

Зная w₀, можно определить объемный расход жидкости:

представлены на рис. 1-10, а. Из последнего видно, что наиболее плоский профиль скоростей наблюдается у псевдопластических жидкостей (а — 7₃)-

(6)

Из уравнения динамического равновесия, написанного в форме яг² (/?! — р₂) = 2я/7т_т, следует

__ (Pi —Pi) 21

V = ял>₀ + 2я j w_rr dr = яг>₀ + ~\[ (R² - г²) - т_у (R - г) ] rdr

После интегрирования и подстановки значений до₀ и г₀ полу­чаем выражение для объемного расхода:

⁴

гЧ.

т

Таким образом, цен-

. е. напряжение трения (касательное напряжение) находится в линейной зависимости от радиуса сечения потока, достигая максимума т_н у стенки трубы и нуля на ее оси (см. рис. 1-10, а).

= т_у + р

Это свойство характерно для ньютоновских, псевдопластиче­ских и дилатантных жидкостей. В отличие от последних бинга-мовские жидкости не обладают текучестью при т_т < т_у; напомним,

р dr

dw

что для этих жидкостей т,

1 —

(1.22)

~ Q

8ц„/

V =

3 R (Pt-P*) ^т 3 R* (_Pl-p₂)*

Разделив обе части уравнения (1.22) на л#², найдем среднюю скорость потока:

8р_Р/ Г 3 R(/),-p₂) ⁺ 3 U (р, — Р_а) J J

При t_y = 0, как и следовало ожидать, уравнения (1.22) и (1.23) переходят соответственно в уравнения (1.14) и (1.15), по­лученные выше для расхода и средней скорости ламинарного потока ньютоновской жидкости.

Для определения коэффициента гидравлического сопротивле­ния X достаточно подставить в уравнение (1.23) значение^Pl~_s^P- =

— Х-^-^. После простых преобразований получим;

X , 64С- th_ _С_

6t + W—^2J ⁺ ^ где С= т_у/о1^[ищ

²р. Для ньютоновских жидкостей С= 0 н Я= 64/(аф/|х) = 64/Re-

9. Турбулентное течение жидкостей в трубах круглого сечения

Распределение скоростей по живому сечению турбулентного потока жидкости в трубах вследствие большой сложности этого режима течения не поддается пока точному теоретическому рас­чету. Приближенное решение этой задачи применительно к нью­тоновской жидкости возможно при помощи ранее выведенного вы-

ражения для касательных напряжении в потоке: т, = 9\1-^-) »

где w_x — скорость движения вдоль оси потока, dy — расстоя­ние от стенки.

р ' ч

Вблизи стенок трубы, как показывают опыты, зависимость длины пути смешения I от у (расстояния от стенки) близка к ли­нейной, т. е. / = ку, где к — безразмерный множитель. После подстановки значения / в последнее равенство получаем:

(1.24а)

Для области потока вблизи стенки можно заменить перемен­ное касательное напряжение \ его постоянным значением на по­верхности стенки т₀. Величина |/т₀/р имеет размерность скорости и называется динамической скоростью; она обо­значается ниже через ш_д. Интегрируя уравнение (1.24а), находим: w_x = (Шд/к) In у + С. Постоянную С определяют из условия, что на расстоянии у₀ от стенки, соизмеримом с толщиною лами­нарного подслоя, практически w_x = 0. Поэтому С — —(до_д//с)1п у₉ и w_x = (wJk) In (yly₀).

Принимая у₀ = В (v/Шд), получаем следующее приближенное уравнение профиля усредненных скоростей турбулентного потока ньютоновской жидкости вблизи стенки:

w* = (w_n/K) fin (i/ayv) — In й] (1.25)

Из уравнения (1.25) следует, что средняя скорость турбулент­ного потока вблизи стенки трубы изменяется по логарифмиче­скому закону. Многочисленными опытами было доказано, что уравнение (1.25) может быть распространено на весь турбулент­ный поток ньютоновской жидкости в гладких трубах, если при­нять к = 0,4 и 1п В == —5,5. Тогда уравнение профиля скоростей принимает следующий окончательный вид:

w_x/w_B = 2,5 In (w_ayM + 5,5 (1.25а)

Средняя скорость потока в трубе радиусом R выразится так:

R

ю=-^ 2nw(R— y)dy = w_n f 2,5 In —h 1,75 J (1.26)

о

Введя в последнее уравнение критерий Рейнольдса Re = = w2R/v, получим:

w/w_n = 2,5 In [(Шд/2ш) Re] + 1,75 (I.26a)

Ранее (см. раздел 4) было показано, что k (w²/2g) = 4т₀/р§. Выразим из этого равенства коэффициент гидравлического сопро­тивления X, введя при этом динамическую скорость ш_д = ]/т₀/р: X — 8т₀/ра>² = 8 (wjw)²; (w_a/w)² = Х/8. После подстановки зна­чения (w_n!wf в уравнение (1.26а) получим:

1IVI = 2,035 lg (Re V>) — 0,91 (1.27)

Лучше согласуется с опытными данными уравнение (1.27) с несколько измененными коэффициентами:

l/l^ = 2lg(Re lA)_0,8 (1.27а)

Расчет коэффициента X по уравнению (1.27а) возможен графи­ческим методом или при помощи малых счетнорешающих ус­тройств. Для упрощения расчетов можно воспользоваться сле­дующими формулами, согласующимися с уравнением (1.27а) в ограниченных областях значений Re:

формула Блазиуса (Re = 10* — 10⁵)

% — 0,3164 Re"^0,25 (1.276)

формула Никурадзе (Re — 10⁵ — 3,4- 10")

Я = 0,0032 +0,221 Re"⁰'²³⁷ (1.27в)

Из уравнений (1.16) и (1.27) видно, что для ламинарного ре­жима характерна значительно более резкая зависимость X = = / (Re), чем для турбулентного. Это положение наглядно иллю­стрируется на рис. 1-11. В переходной области (Re = 2320—10 000) наблюдается некоторый рост величины X.

Значения X, выражаемые уравнениями (1.27), справедливы для гладких труб, к числу которых относятся трубы из цветных металлов (медные, латунные, бронзовые, алюминиевые, свинцо­

вые), а также из стекла и полимерных материалов. Используемые в промышленности стальные и чугунные трубы имеют шерохова­тую поверхность, вызывающую рост коэффициента гидравли­ческого сопротивления X. Вид и характер шероховатости очень разнообразны; они зависят от материала труб, способа их изготов­ления и условий эксплуатации (химическая агрессивность транс­портируемых жидкостей и газов, инкрустация поверхности выпа­дающими осадками и т. п.).

Степень шерохова­тости труб выражают отно­шением высоты выступов s к вну­треннему диаметру трубы d, обо­значаемым e—s/d. У новых сталь­ных труб s = 0,1 мм, у чугунных

Рис. 1-11. Зависимость lg А. = I (lg Re) в ши­роком диапазоне значений Re:

/ — ламинарный режим; 2 — переходный режим; 3 — турбулентный режим; 4 — ше­роховатые трубы

s = 0,25 мм, у старых загрязненных труб значения s дости­гают 2 мм. Путем обобщения многочисленных опытных данных получена следующая формула для шероховатых труб при турбулентном режиме течения:

^{А—*[«*+№)"]}

Из уравнения (1.28) следует, что с ростом величины Re ее влияние на коэффициент X падает и увеличивается зависимость последнего от относительной шероховатости поверхности е. Это объясняется тем, что при небольших Re толщина ламинарного подслоя может превышать высоту выступов на обтекаемой поверх­ности, поток будет плавно обтекать имеющиеся выступы и их влияние на величину X будет незначительным. Наоборот, при очень больших Re ламинарный подслой имеет малую толщину, он уже не покрывает выступы и влияние последних на вели­чину X возрастает вследствие потери энергии потока на вихре-образование вокруг выступов. Для области, где величина X прак­тически не зависит от Re и определяется лишь шероховатостью обтекаемой поверхности (автомодельная область) имеем:

XlVl = 2 lg (3,7/е)' (1.28а)

Заметим, что турбулентный режим течения наступает не сразу при входе жидкости в трубу, а на расстоянии от входного сече­ния 1_СТ, носящем название участка гидравлической стабилизации потока. Для гладких труб 1„ = 50d, а для труб средней шероховатости /_от да 40d. На этом участке величина X примерно в 1,5—2 раза больше.

При теоретическом описании закономерностей ламинарного и турбулентного потоков было принято постоянство физических свойств жидкостей (плотности, вязкости); это условие предпола­гают также приведенные выше эмпирические формулы для расчета коэффициента X. Между тем в химической технологии часто встре­чаются потоки, которые подвергаются нагреванию или охлажде­нию по всей своей длине (неизотермические по­токи). Если зависимостью плотности жидкости от температуры Т можно большей частью практически пренебречь, то игнорирова­ние изменения вязкости р с температурой может привести к зна­чительной погрешности расчета. Эта погрешность возрастает по мере увеличения абсолютного значения р. Напомним, что вязкость жидкостей падает, а вязкость газов возрастает с увеличением температуры, причем эта зависимость сильнее у жидкостей, чем у газов.

Изменение температуры жидкости вдоль радиуса сечения по­тока сопряжено с соответственным локальным изменением ее вязкости и, следовательно, с деформацией профиля скоростей, характерного для изотермических потоков. Из уравнений (1.13) и (1.15), (1.25) и (1.26) видно, что соответственно изменению вязкости профиль скоростей в сечении потока внутри обогреваемой трубы будет менее пологим, а в сечении потока вну­три охлаждаемой трубы более пологим, чем в сечении изотерми­ческого потока.

Деформация профиля скоростей повлечет за собой изменение гидравлического сопротивления, которое очень трудно определить теоретическим путем. В связи с этим для инженерных расчетов пользуются следующим эмпирическим соотношением коэффициен­тов гидравлического сопротивления для изотермического (X) и неизотермического (Х₁₁) потоков жидкостей:

^Ан = (Рп/м_Ст)^0Л4 (1.29)

Здесь ц_ст и ц_п —вязкости при температуре стенки трубы и средней температуре потока t_a, причем t_n = 1/2 (/_вх + 7_ЕЬ]Х), а t_BK и (_шых — средние температуры жидкости в начальном и ко­нечном "сечениях потока.

Так как при нагревании жидкости р_ст < р_п, а при охлажде­нии ц_ст > р,„ то в первом случае Х_н < X, а во втором случае

К >

Для неизотермического газового потока справедливо несколько модифицированное уравнение (1.27а):

¹ /УК(Т'„/Т_П) = 2 lg [Re (pj^) У К] - 0.8 (1.30)

где Гст = 1/2 (Г_Ст+ Гп), а вязкость ц_Ст берется прн температуре Гст.

Заметим, что существенное расхождение величин X и Х_а для газов наблюдается лишь при Т_С1./Т_а > 2.

10. Расчет трубопроводов для транспорта жидкостей

Одной из распространенных операций почти на всех химиче­ских предприятиях является транспорт разнообразных жидко­стей внутри производственных цехов (из аппарата в аппарат), между отдельными цехами или отделениями, а также между

а

последними и хранилищами жидкостей (исходного сырья, полу­продуктов и конечных продуктов). Транспорт жидкостей осуще­ствляется обычно при помощи закрытых трубопроводов (металли­ческих или неметаллических), протяженность которых варьирует в очень широких пределах: от нескольких метров до многих кило­метров. Объемы транспортируемых жидкостей зависят от мас­штаба производства и измеряются значениями, начиная с л/с до многих м³/с. Во всех случаях необходимо рассчитать диаметр трубопровода, обеспечивающий транспорт требуемого объема жидкости (объемный расход) на заданное расстояние при мини­мальных затратах энергии и материалов. Рассмотрим несколько наиболее распространенных вариантов поставленной задачи.

Простой трубопровод. Простым называется трубопровод, со­единяющий источник с потребителем жидкости, но не имеющий на пути никаких ответвлений (рис. 1-12, а). Такой трубопровод, пространственно расположенный часто во всех трех измерениях, обычно состоит из ряда прямолинейных участков разной длины (li, 4> 4> •••)> соединенных друг с другом отводами и коленами для изменения направления потока. Трубопровод может быть еще снабжен запорными и регулирующими устройствами (задвижки, вентили, краны, обратные клапаны).

Допустим, что разность уровней жидкости в расходном и приемном сосудах равна h, а внешние давления на свободные поверхности жидкости в этих сосудах соответственно равны рх и р₂. Так как скорость потока w в трубопроводе постоянного диаметра d также постоянна, а скорости перемещения жидкости в обоих сосудах практически одинаковы и пренебрежимо малы, то по уравнению Бернулли h + (p_L — pi)/pg = Н = h_a, т. е. располагаемый суммарный гидростатический напор Н (сумма разностей нивелирных и пьезометрических высот) равен потерян­ному напору h_a. В свою очередь, величина h_a затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений, встречаемых пото­ком при прохождении через прямолинейные участки трубопро­вода (к_п) и через перечисленные выше соединительные, запорные и регулирующие устройства, которые будем называть мест­ными сопротивлениями (/i_M): h_n = К + h_M.

Потери напора (перепады давления) в местных сопротивле­ниях выражают произведением скоростного напора на свойствен­ные каждому из них коэффициенты местных со­противлений

Л_м = ii (w*/2g)

Обозначив коэффициенты для колена, отвода, задвижки, обратного клапана и т. д. соответственно через £_к, £₀, £₃, £ок> •■•> получим:

(Лм)к = Ь, №/2g); (Л„)₀ = to (wV2g); (ft„)₃ = £з (w²/2g); (Лм)ок = Сок (w²/2g) и т. д.

Значения коэффициентов местных сопротивлений определяются опытным путем и приводятся в технических справочниках.

К числу местных сопротивлений относятся также потери на­пора, возникающие при входе жидкости из расходного сосуда в трубопровод (резкое сужение потока) и при выходе из послед­него в приемный сосуд (резкое расширение потока). Выразим эти потери напора по аналогии с предыдущими: (/i_M)_BX = £_вх (w²/2g);

СМвьи = Бвви (^'ЭД.

Если трубопровод имеет п_к колен, п₀ отводов, п₃ задвижек, «о обратных клапанов и т. д., то

Лм = (£вх + «к£к + Яо?0 + Ыа + "okSok + Ь Бвш) (w²/2g) = £ tit, (W*/2g)

Обозначив суммарную длину прямолинейных участков трубо­провода через k + i-i + 4 + 4 + • •" ⁼ 4 получим:

Л_п = Я = л; + Л_м=[М^) + 2>£](^7²£) О)

Потери напора в местных сопротивлениях можно также выра­зить через потери в эквивалентных прямолинейных участках 1₃. Так, например, для колена (h_M)_K = £_к (w²/2g) = К [(l₃)Jd] (w²/2g), откуда (/_э)_к = dlj%. Аналогично (/_э)₀ = d£₀A, (/_э)₃ = dtJX; (4)_вх = dt,_BJk и т. д.

В этом случае суммарный потерянный напор выразится так:

А_п = Н = (X/d) [I + (У_вх + я_к (/_э)к + п₀ (/,)„ + • • • + (У_вых] (w42g) =

= J] h(w²!2g) (б)

Из уравнений (а) и (б) находим два выражения для скорости потока в трубопроводе:

_w= /ПШИ^ГШ. о)

Таким образом, объемный расход жидкости в рассматривае­мом трубопроводе будет:

Выражение (1.31) позволяет определить для каждого конкрет­ного трубопровода либо требуемый d по заданному расходу V, либо расход V при известном диаметре d, либо требуемый напор Н для обеспечения заданного расхода V в трубопроводе известного диаметра d.

Как видно из выражения (1.31), требуемый расход жидкости V в трубопро­воде заданной длины и конфигурации может быть достигнут прн разных его диаметрах в зависимости от значения напора Н: чем больше напор Н, тем меньше требуемый диаметр трубопровода. Обеспечение напора Н при расходе V равно­сильно подъему V mVc жидкости на высоту Н; н требует, следовательно, расхода энергии, пропорционального pgffV Дж. При стоимости энергии а руб./Дж де­нежные затраты на энергию составят apgHV руб./с. С другой стороны, денежные затраты на эксплуатацию трубопровода (амортизация, ремонт, обслуживание и др.) возрастают с увеличением его длины / н диаметра d н могут быть выражены произведением bid руб./с, где Ь — коэффициент пропорциональности. Следо­вательно, общие затраты на транспортировку жидкости по трубопроводу вы­разятся так:

Э = apgHV + bld (г)

Оптимальный диаметр трубопровода должен удовлетворять минимуму функции Э = / (d), т. е. условию d3/d (d) = О

Заметим, что расчет искомой величины (V, d, Н) по формуле (1.31) требует подстановки значения коэффициента А., зависящего, как уже известно, от значения критерия Re и, следовательно, от заранее неизвестной скорости потока w. Это затруднение легко преодолевается, если выразить w через объемный расход жидкости (ш = 4Wild²); тогда Re = 4Vp/ndp.

Задаваясь теперь в качестве поискового варианта расчета ожидаемым режимом течения (ламинарный, турбулентный), вы­бирают соответствующую формулу Я = / (Re) и после ее под­становки в выражение (1.31) находят искомую величину (d или V при заданном Н). Принятый режим течения (область значений Re) может быть теперь проверен и в случае его несоответствия полу­ченному расчет повторяется.

Разветвленные трубопроводы. Разветвленными называются трубопроводы, обеспечивающие одновременную подачу жидкости в несколько точек. Рассмотрим схему таких трубопроводов

(рис. F-12, б). Ее можно представить как магистральную линию (диаметр d, длина 0» ^е конца которой уходит несколько ветвей (диаметры d_u d₂, d₃, длины /₂, /₃, ...) в точки потребления жидкости, гидростатические напоры которых относительно общей горизонтальной плоскости отсчета равны Н_и Н₂, Н₃ Источ- ник питания, изображенный в виде открытого сосуда, создает гидростатический напор Н относительно той же плоскости отсчета; гидростатический напор в точке разветвления обозначим через Н„. Обычно бывают известны напоры Н, Н_х> Н₂, Н₃, длины I, Л» h, 4i •••> а также объемные расходы по ответвленным трубо- проводам V_u V₂, V₃ и, следовательно, суммарный расход

в магистральной линии V = Vx + V₂ -f V₃ + • • •. Искомыми являются диаметры d, d_u d₂, d₃, причем не известен заранее напор Н₀ в точке разветвления.

Для решения задачи используем уравнение (1.31), которое решим относительно Hi^l₃;

Н/%1₃ = 0,№(№/&) (1.31а)

Обозначив через Я, Я_г, Я,_2| Я*,, ... коэффициенты сопротивления в прямых участках трубопровода, а через £/_э, 5j ik,

Лзк> ••■—суммарные эквивалентные длины этих участков, можно написать следующую систему уравнений вида (1.31а):

(Н - Н₀)/ £ 1₃ = 0,083 frV*j*)i (Н₀ - Я,)/ £ j/, = 0,083 {\V\jd⁵_x);

(Н₀ - H,)l £ ₂*_э = 0,083 (hV'i/dl); (Н₀ - Я₃)/ £ _З'э = 0.083 (У*/<ф

Пятое уравнение, соответственно условию V = У_г + V_t + V_Sl

будет иметь вид:

Г [Н-н₀)#

V

₌ л[К-^К _| л[(н₀-н,)4 _{ К-я₃)4 у ^i 2j 1 к У к 2j 2 'э У к 2j з's

Написанная система пяти уравнений позволяет найти иско­мые величины Н_0> d, d_u d₂ и d₃.

Трубопровод с непрерывным путевым и транзитным расходами жидкости. В химической технологии часто используют трубо­проводы (прямые, спиральные, типа плоских (У-образных змееви­ков) с непрерывным и равномерным отводом жидкости по всей их длине /. Выход жидкости происходит через множество рас­положенных близко мелких отверстий, просверленных в стенке труб, или через сопла, вставленные в эти отверстия. Вследствие гидравлического сопротивления давление по длине потока не­прерывно падает, поэтому для обеспечения равномерного отвода жидкости площадь отверстий или их число должны непрерывно возрастать по мере удаления от начального (входного) сечения трубопровода.

Если на единице длины трубопровода должно быть отведено и м³/с жидкости, то полный ее расход, называемый путевым расходом, составит V_n = lv. Иногда требуется, чтобы, помимо путевого расхода V_a, из последнего сечения трубопровода уходил еще дополнительный поток V_T м³/с, который будем назы­вать транзитным потоком. Таким образом, суммарный

	х т
		: . .!) у
	Н Н И U Н fl	Тин ннГП

			и — Гу ■
—а К			Ч,
		dl	6

Рис. 1-13. К расчету трубопроводов:

а — трубопровод с непрерывным путевым н транзитным расходами жидкости; б — га* зопровод.

объем жидкости, поступающей в трубопровод, равен (V_a + + V_T) м³/с. Потеря напора на элементарном участке трубопровода длиной dx, отстоящем от входного сечения на расстоянии х (рис. 1-13, а), выразится уравнением dh_a = X (dxlD) (w²/2g), где D—диаметр трубопровода, а до— скорость потока в рассма­триваемом сечении.

Так как на пути х было отведено xv м³/с, то до = 4[1/_т + 4- (V_D — xv) ]/nD- = 4 [ V_T + v (I — x) ]/jtD². Таким образом

dh - ^x 16[У_т + пг-*)1² ,_t ^Па-~2ф ^ax'

ОТКуда } dha^-^ob] (VT + V_a — VX)²dx

Л_а = 0,083 -M-(l'2 + K_TK„ + -^| (1.32)

В частном случае, когда трубопровод работает без транзит- ного расхода (У_т — 0):

й_п = 0,028 (M'n/D⁵) (1.32а)

Заметим, что при выводе уравнения (1.32) было принято Я = const, между тем, как эта величина изменяется по длине трубопровода соответственно зависимости к = f (Re). Погреш­ность расчета становится пренебрежимо .малой, если отнести величину X к средней скорости потока.

11. Расчет газопроводов

Движение газа в трубопроводах в отличие от движения ка- пельной жидкости сопровождается непрерывным увеличением удельного объема v (уменьшением плотности р) и соответственным ростом линейной скорости потока до — вследствие падения дав- ления р. Изменение » и р и, следовательно, также до может быть вызвано, кроме того, повышением или понижением температуры газа в случае его преднамеренного нагревания или охлаждения (приращение температуры за счет трения чаще всего пренебрежимо мало). В связи с непрерывным изменением величин v (или р) и да воспользуемся уравнением Бернулли применительно к эле- ментарному участку газопровода длиной dl (рис. 1-13, б): dz + + dplpg + dw²/2g + dh_n — 0. Вследствие малой плотности газа и незначительного вклада скоростного напора в заводских газо- проводах можно без заметного ущерба для точности расчета пренебречь в этом уравнении членами dz и dw^/2g. Тогда получим: dp = —pg dh_n = [—рХ (dl/D)] (а>²/2) (1.33)

причем D — диаметр газопровода.

Если массовый расход газа равен G кг/с, то G = (n.D²/4) дор. Выразив отсюда до и подставив его значение в уравнение (1.33), находим:

jdp = p_i-p_t=-^.^_r\^dl (1.33а)

р, о

Расчет по уравнению (1.33а) возможен в тех случаях, когда известно распределение температуры газа Т по длине газопровода. На практике встречаются преимущественно изотермические га­зовые потоки (Т = const), поэтому pip — pjpi, дор = const, и X — const. В этом случае уравнение (1.33) принимает следую­щий вид:

откуда ^Ps G = 0.785 у ⁰

^P't'_w»' (1.34)

Уравнение (1.34) позволяет определить требуемый диаметр газопровода D для транспорта заданного количества газа G кг/с при заданных начальных (р_х) и конечных (р₉) давлениях, либо

одну из трех величин (G, D, р\ — р²) при заданных остальных двух. При этом, поскольку wp = const, величину Я можно рас­считать по приведенным выше формулам для капельных жидко­стей (соответственно режиму течения), введя в выражение Re начальные (w_u или конечные (w₂, р₂) значения скорости и плотности газа.

Заметим, что при р_х — р_а < 20 кПа достаточно точный расчет возможен по упрощенной формуле: p_t — р₂ = [Х (lid) ] [(w\J2) X X р_ср 1, где w_cp и р_ср — среднеарифметические значения скорости и плотности газа.