1. Прямоток и противоток

На рис. VI1-18 показаны возможные варианты хода темпе­ратурных кривых теплоносителей вдоль поверхности теплообмена при прямотоке и противотоке в зависимости от соотношения во­дяных эквивалентов (WJW₂). Естественно, круче проходит тем­пературная кривая того теплоносителя, у которого меньше водя­ной эквивалент.

Для определения средней разности температур теплоносите­лей воспользуемся уравнениями теплопередачи и тепловых ба­лансов для элемента поверхности dF и всей поверхности тепло­обмена:

dQ = К (<i — t₂) dF = — W_i dt_t = W₂ dt₂ (a)

Q=W₁(t[-f₁) = W₂(t"₂-t'₂) (6)

Поделив последние два уравнения друг на друга, получим: ^(^<i-^/»)_Jf= _ *t_x _ _ d(t_t-t₂)

откуда при К = const

Q J J h-t₂

			f
			се
			<

Рис. VII-18. Изменение температур теплоносителей вдоль поверхности теплообмена при прямотоке и противотоке.

_ g _{dF =} _н/₁ dtx = — W₂ dt₂. Далее, по аналогии с преды­дущим случаем, находим:

(r)

Q ^dF— tl-t\~ f₂-t'₂ (t[-t₂)-{t\-t₂)

Сопоставляя последнее выражение с выражением (VII. 1), находим искомую среднюю разность температур:

A_cp=(Ai-A,)/ln(VAi) (VII. 2)

где Ajl = t[ — t'₂ н А₂ = t'[ — f₂.

Из выражения (VII.2) следует, что средняя разность темпе­ратур теплоносителей вдоль поверхности теплообмена при прямо­токе равна среднелогарифмической величине из разностей тем­ператур на границах этой поверхности (Д_х и А₂).

Q = K-

'1 '2

X г »

⁰ • U-to

t\-f_{2 In}A

In —7, -Г &2

Зная одну из граничных разностей температур (например, А_х), можно определить абсолютную разность температур теплоноси­телей в любом сечении теплообменного аппарата (А = t_t — t₂). Так, в случае прямотока из уравнений (б) и (в) следует:

^{откуда — J — = mK \dF и}

. . -m/CF

Д=Д,е * (VII.3)

где F_x — поверхность теплообмена До рассматриваемого сечення; т = l/Wt 4-

Из уравнения (VII.3) видно, что разность температур тепло­носителей изменяется вдоль поверхности теплообмена по экспо­ненциальному закону. Это уравнение справедливо также для противотока при т= 1/W, — l/W₂.

Среднелогарифмическая разность температур всегда меньше среднеарифметической А_ср = (A, -f Д₂)/2. Однако при А₂/А_х > > 0,7 это расхождение становится менее 1%, и расчет теплооб­менного аппарата допустим по среднеарифметической разности температур. Заметим, что выражение (VII.2) упрощается в слу­чаях, когда один из теплоносителей сохраняет постоянную тем­пературу вдоль всей поверхности теплообмена (конденсирующийся насыщенный пар, кипящая жидкость). Так, имеем:

при t_x = t\ = t_x = const Д_ср -

In — 1-

при to = U = t₂ = const Д = •

_{In 4—1}

w₂

В инженерной практике часто требуется знать температуры теплоносителей в различных сечениях аппарата (f. и /₂), ограни­чивающих часть поверхности теплообмена F_x < F, а при исполь­зовании готового аппарата с известной поверхностью F — ко­нечные температуры (t'[ и f₂) при заданных значениях W_lt W₂> t[, f₂ и К- Для решения этих задач применительно к прямотоку допустим, что после омывания части поверхности F_x теплоноси­тели имеют температуры t_x и /_г. Напишем для этой части поверх­ности уравнения (б) и (VI 1.3):

Q_x = w_l(C_l-t_l) = w {t₂-f₂) (б')

—mKF . -mKF,

A_x==A_ie *; Д,— A_X = A₁-A_le ^x или

tl-h-h + t^itl-QU-e-"¹*"*) (Д)

Решая совместно уравнения (б) и (д), находим выражения для искомых температур:

t_l = t[-W[-QlmV_l]il-,-^mK'')

t₂ = t'_{2 +} [ft _Q/mV^U - e-^mKF*) (VI 1.4)

Для определения конечных температур теплоносителей (f[ и С₂) достаточно подставить в последние выражения F_x = F.

Пользуясь выражениями (VI 1.4), можно при известных значе­ниях W_lt W₂ и К найти количество тепла, которое может быть передано через известную поверхность F при заданных начальных (но неизвестных конечных) температурах обоих теплоносителей при прямотоке:

^{<?пар = *i в - Q - к*; - (1 -°-mKF) (v"-5>}

Для определения конечных температур теплоносителей (/?, /г) при заданных значениях W_u W₂, t[, t'₂ и К в случае противотока мы воспользуемся уравнением (б) и уравнением (VI 1.3) в следу­ющем виде: t\ — t'₂ = {t\ — t"₂) e-^mKF. Путем совместного ре­шения этих уравнений находим:

. „—mKF

^-<-«-'.)T=fe=^ f f if f\ '-<"w =

f 1 ^(VIL6)

^Г* (f f) ¹ ~ ^e""^KF '

-^r2+ W₂ Vi h) i-_(Wl/W₂)e-Для определения температур теплоносителей в любом сечении теплообменного аппарата воспользуемся уравнениями (б) и (VIL3) в следующем виде:

*i ft - <i) = W₂ ft -1₂) _tl-t_a= ft - Q e"»«^mKF

^F* (6")

Решая эти уравнения и подставляя значение ^ [выражение (VI 1.6)], находим:

1 — p-^mKFx

L = t\-{t\-Q ■ -=«r (VH .7а)

П

Рис. VII-19. Изменение температур при одновременном теплообмене между тремя те пло носителя ми.

осле подстановки значения t_x в уравнение (б") и значения t₂ из выражения (VI 1.6) получим:

t -f ({ п '-(W^ ,_VII76v

h h Vl h) _X__{WilWt)e-_mKF (^VI1-⁷⁶)

Количество тепла, передаваемого в единицу времени через заданную поверхность теплообмена F при противотоке, можно выразить через начальные температуры теплоносителей, если вос­пользоваться выражением (VI 1.6):

Q_np = *t CI~Q = *г (Ч-Q (VH.8,

Изложенные закономерности процессов теплообмена при пря­мотоке и противотоке позволяют сопоставить эти две схемы дви­жения теплоносителей и выявить области преимущественной вы­годности каждой из них. Прежде всего, как видно из рис. VII-18, при одинаковых значениях t{, t₂, W_x и W₂ конечная температура нагревающегося потока всегда ниже конечной температуры гре­ющего потока (£> < t'{) при прямотоке, но может быть выше ее (£> > t'{) в случае противотока. Следовательно, противоток позво­ляет лучше использовать запас тепла горячего потока или охлаж­дающую способность холодного потока, что является очень суще­ственным преимуществом. Для достижения же одинаковой ко­нечной температуры одного из теплоносителей (t₂ или f[) при про­тивотоке потребуется меньший расход второго теплоносителя, чем при прямотоке. Для количественной оценки рассматривае­мых схем воспользуемся выражениями (VI 1.5) и (VI 1.8) и найдем соотношение количеств тепла, передаваемого при прямотоке и противотоке в случае одинаковых значений W\, W₂, t[, t₂, /Си/⁷:

t = Qnap/Qnp = [1 - (W_t/W₂) e'^Mm^x (VI 1.9)

Из выражения (VII.9) видно, что величина if зависит от ве­личин (№_а/№₂) и (KF/WJ.

Заметим, что во всех случаях ^ < 1, _т. _е. Q_nap < Q_np; при KF/W_X < 0,33 и в интервале 0,05 > (Wj/W_t) > 20 обе схемы практически равноценны (Q_nap да Q_np). Они равноценны также при малых перепадах температур теплоносителей. Наконец, если температура одного из теплоносителей постоянна, то средняя разность температур вообще не зависит от направления потоков.

При фиксированных начальных и конечных температурах теплоносителей средняя разность температур больше и, следова­тельно, требуемая поверхность теплообмена меньше при проти­вотоке, нежели при прямотоке. С другой стороны, лучшее исполь­зование запаса тепла горячего теплоносителя и охлаждающей способности холодного теплоносителя требует большей поверх­ности теплообмена при противотоке, чем при прямотоке. На прак­

тике теплообменные аппараты работают большей частью по схеме противотока; это целесообразно, разумеется, до тех пор, пока экономия теплоносителя или хладоагента преобладает над аморти­зационной стоимостью дополнительной поверхности теплообмена. Применение прямотока диктуется иногда технологическими и конструктивными причинами, связанными часто с недопустимо высокой температурой поверх­ности теплообмена при близо­сти температур t[ и^в случае противотока.

2. Теплообмен между тремя потоками

В химической технологии применяются аппараты для на­гревания или охлаждения двух отдельных потоков различных жидкостей (газов) третьим об­щим потоком (рис. VII-19). В этом случае обе крышки ко-жухотрубного аппарата снаб­жены глухими перегородками, так что по л₂ трубкам дви­жется один из нагреваемых или

охлаждаемых потоков (2), по остальным л₃ трубкам — второй (3), а в межтрубном пространстве — третий (1). Если трубки имеют диаметр d и длину /, то поверхности теплообмена рассма­триваемых потоков выразятся так: F_t = п₂п dl; F₃ = п₃п dl; Fi = ^Fi + ^Fa = ndl (rc₂ -f- n₃).

Обозначив водяные эквиваленты потоков через W_u W₂ и W₃, а коэффициенты теплопередачи через Кг и /С₃, напишем уравнения тепловых балансов для элементарного участка аппарата dl:

dQ₂ = — W₂ dt₂ = K₂n^d (t-L — t₂) dl = -m₂ (t_± - t₂) dl (a)

dQ„ = — W₃ dt₃ = K₃n₃ nd (t_t — t₃) dl = — m₃ (t_± — t₃) dl (6)

dQ₁ = dQ₂ + dQ₃ или W_± dt_t = W₂ dt₂ + W_a dt₃ —

= — m₂(t_i — t₂)dl — m₃(t₁ — t₃)dl (в)

Дифференцируя уравнение (а) и подставляя значение *l

из уравнения (в), находим: «V* -И" + *■ ~ «V + = о _(г)

Аналогичным путем находим:

Дифференцируя уравнение (г), получаем:

После подстановки в последнее уравнение значения из уравнения (д) и ^ из уравнения (г) получаем: d^dl

^at

_{WlW*W* -ЦТ + ~ *i) + m3W2 (W3 _ Ц7 )] J%. ,}

dl+ m₂m₃(W_l-W₂-W₃)^h-=0 _(ж)

Уравнение (ж) имеет, как известно, следующее решение:

*₁ = Аг*+&"+С = 0 (уцлоа)

ния?²

^ДеСЬ ° ^{И Ь ЯВЛЯЮТСЯ к}°Рнями характеристического уравне-VWi* + [m₂W₃ (W₂ - _Wl) + m₃W₂ (W₃ - W_t)\ x + + m₂m₃ (W_i~W₂-W₃) = 0

После подстановки значения t₂ и ^j- из уравнения (VII. 10а) в уравнение (а) находим:

- (¹" ^а 5) ^Ae°^l + (^l-^b~r) ^ +с (VII. 106)

Из уравнений (б) и (в) следует:

Подставив в последнее выражение значения t_x и из

уравнения (VII. 106) и ■—- из уравнения (VII. 10а), получим:

L \ «2 «з / "V"3J

₊ Г1_й(_Еж ₊ ^2 El_62£iZ2.')] Be^bl + C (VII.IOb)

^ L \ Щ m₃ m₃ m₂m₃ /}

Постоянные величины Л, В и С в уравнениях (VII.10), позво­ляющих рассчитать распределение температур теплоносителей по длине аппарата, находятся из граничных условий: t_x — t[ при / = 0; t₂ = t'i и 4 = й при / = /.

Таким образом, при помощи уравнений (VII. 10) можно опре­делить конечные температуры теплоносителей при заданной длине теплообменного аппарата или же требуемую его длину, если за­даны необходимые конечные температуры теплоносителей.