Xoroi f" o*o To*o j

Уравнение (V.20a) позволяет определить производительность фильтра V за время х или требуемую площадь F при заданной производительности V, если известны значения г₀ и R_n (величины р. и х₀ для каждой суспензии известны).

В случае фильтрования с постоянной скоростью (VlFx = const) и, следовательно, с непрерывным ростом Др, как это происходит, например, при питании фильтр-пресса поршневым насосом, из уравнения (V.19) получаем:

(Vo/f)l'^s + R_aV = FxAp/ц (V.21)

откуда

Ар = ц (r₀x₀C*x + R_nC) (V.21a)

ИЛИ

По уравнению (V.21a) можно определить время т, в течение кото­рого при постоянной скорости фильтрования достигается макси­мальный перепад давлений (Ар)_макс, а по уравнению (V.216) — значение V или F. Заметим, что величина Ар является линейной функцией времени. Из уравнений (V.21a) и (V.216) следует, что при R_a = 0 и одинаковой площади фильтровальной перегородки F для получения одинакового объема фильтрата в случае Ар = — (Аммане требуется в два раза меньше времени, чем в режиме фильтрования при Ар = const.

На практике процессы фильтрования протекают часто при пе­ременных значениях скорости фильтрования и перепада давлений (третий режим). Для расчета такого процесса можно воспользо­ваться также основным уравнением (V.19), установив предвари­тельно явный вид функциональной зависимости Ар = / (т).

Для определения величин г₀ и R_n представим уравнение (V.21) в следующем виде:

^{*-'¥(4)'+^-e(¥)'+W)}

Легко видеть, что величина x₀VlF равна толщине слоя осадка б на фильтровальной перегородке, поэтому последнее уравнение можно переписать следующим образом: х = (ii/x₀ Ар) [(rj2) б² + + #_пб].

Как следует из полученного уравнения, для определения ве­личин г₀ и R_n достаточно в лабораторных условиях провести филь­трование разделяемой суспензии при Ар = const с применением фильтровальной перегородки, намеченной к использованию в про­мышленном аппарате. Измерив в ходе опыта через фиксированные промежутки времени т_х и т₂ толщины слоев образовавшегося осад­ка б, и б₂, составим два уравнения:

Решая написанную систему уравнений, находим искомые ве­личины г₀ и R_n.

Ту же задачу можно решить, измерив в указанном опыте объ­емы полученного фильтрата К, и V₂ по истечении периодов вре­мени х_х и т₂. В этом случае удобно представить уравнение (V.20) в виде линейной функции x/V — f (V):

Из написанных уравнений легко определить значения г₀ и А?_п.

Фильтрование с образованием сжимаемого осадка на сжимаемой фильтровальной перегородке. Процессы фильтрования очень часто сопровождаются сжатием осадка и фильтровальной перегородки, вызывающим уменьшение их порозности и увеличение сопротив­ления потоку фильтрата. Сжимаемость осадка под действием дав­ления наблюдается не только в случае легкой деформируемости частиц твердой фазы, но и при их высокой прочности, но малых размерах (~100 мкм). Такие частицы склонны к образованию агрегатов, поддающихся сжатию (уплотнению) под действием дав­ления.

В случае сжимаемых осадков и перегородок величины г₀ и R_a являются не только функциями давления, но могут также изме­няться по высоте фильтра. Расчет рассматриваемого процесса фильтрования возможен все же по уравнению (V.18), если учесть зависимость л₀ от перепада давлений. Опыт показывает, что эта зависимость степенная: г₀ = г₀ (Ар)", где г'₀ и п — константы, определяемые для каждой системы опытным путем, причем г'₀ = = г₀ при Ар = 1.

Совершенно очевидно, что в случае фильтрования при Ар = = const величина r₀ = const; в случае же фильтрования при

= const величина г₀ растет во времени соответственно нара­станию Ар. В первом случае величины R_n, г'₀ип можно определить описанным выше опытным путем, измерив значения т/1/ при трех расходах фильтрата (V,, V₂, V₃) за три соответственных отрезка вре­мени (tj, т₂, т₃). Во втором случае = const) примем: R„ =

= Rn (Ар)"; го = 'о (Ар)"- Подставив значения R„ и г₀ в уравнение (V.21), получим:

x/V = (и/О #пV'^Т

¹ + (мУ^²) 'Л (AP)^n_1V (V.22)

Найдя описанным выше опытным путем три значения x/V при трех различных значениях V, х и Ар, получим систему из трех уравнений, достаточную для определения R₀, г₀ и п. Зная эти величины, можно по уравнению (V.22) рассчитать V при заданных значениях F и (Ар)_макс или же величину F при заданных V и (&р)ме.кс- Заметим, что при большой сжимаемости осадка его ко­нечное влагосодержание падает с ростом давления и может быть найдено только опытным путем.

Фильтрование с постепенным закупориванием пор фильтро­вальной перегородки. При фильтровании тонкодисперсных сус­пензий мелкие частицы могут проникать в поры фильтровальной перегородки, вызывая их частичное или даже полное закупори­вание. Это явление будет сопровождаться ростом Ар и падением производительности фильтра. Для теоретического описания про­цесса с постепенным закупориванием пор допустим, что фильтро­вальная перегородка площадью 1 м² имеет капилляры одинако­вых радиуса сечения г_х и длины /. После прохождения элементар­ного объема фильтрата dV в порах перегородки задержится объем осадка х₀ dV, который вызовет уменьшение радиуса пор на вели­чину dr. Таким образом, х₀ dV = —2Илг dr, где i — число ка­пилляров в фильтровальной перегородке с поверхностью 1 м².

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0 до V и от г_х до г, получаем выражение для объема прошедшего фильтрата

V = {inllx₀){r\-r*) (а,

С другой стороны, так как фильтрат движется в ламинарном режиме,_ то по уравнению^ (1.14) имеем: r\ = (SV[\illm Ар)¹'² н г = (81/ р//лг Ар)^1/2, где V_x и V — расходы в незакупоренных и частично закупоренных капиллярах в единицу времени.

Подставляя значения г² и г² в уравнение (а), получаем:

V¹ = v[[l- (1/2)kV}² (б)

где ус = (2*₀/я/) (лДр/8ц»К;)^1/2 — величина, постоянная для каждой разделя-емои суспензии и выбранной фильтрующей перегородки.

Заменяя в уравнении (б) величину V на получаем di=(\/y[)[\-(\i2) kv]-*dv

После интегрирования последнего уравнения от 0 до т и от О до V находим:

x = 2v/[V[(2 — kV)] или /ст/2 = т/У— \/v{ (V.23)

Уравнение (V.23) показывает, что процесс фильтрования с по­степенным закупориванием пор при Ар = const подчиняется ли­нейной зависимости х от x/V. Это уравнение используется для на­хождения постоянных величин к и V\.

Если рассматриваемый процесс протекает с постоянной ско­ростью фильтрования VI = const, то перепад давлений будет воз­растать от некоторого начального значения Ар\ до конечного Ар. Согласно уравнению (1.14) имеем: V\ _s= я Ар_нгУ*/8д7.

Для момента времени, когда перепад давлений достигнет ве­личины Ар, находим: V\ = я Арг'г⁴/8ц7, где г — радиус живого сечения частично закупоренной поры.

Найдя из последних двух выражений значения г? и г² и под­ставив их в уравнение (а), получим:

V = (я//*») (ViiSiil/n)¹'² [((/Арн)¹'² - (1/Др)¹/²]

Так как V = Vlx, то последнее уравнение можно использовать для определения продолжительности процесса

Ax=(l/A_Pa)^l'²-(l/A_P)¹'² (V.24)

где А = (*₀Ы) (яУ;/8|х/0^1/2.

Уравнение (V.24) описывает в координатах т— [(1/Д/з_н)^1/2 — (1/Ар)^1/2\ прямую, проходящую через начало координат и образующую с осью абсцисс угол, тангенс которого равен 1/Л. Построив такую прямую при наличии одной опытной точки, можно сразу определить константу А. Очевидно, полному закупориванию пор соответствует Ар -*■ оо и т = (l/Ap_H)^1/2.