2. Свойства алгоритмов. Формы представления алгоритмов.

Алгоритм – точный набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное время. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность».

Свойства алгоритма:

- Дискретность - алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение некоторых простых шагов. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, то есть преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно.

- Детерминированность (определённость). В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных.

- Понятность - алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.

- Завершаемость (конечность) - при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов. С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.

- Массовость (универсальность). Алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

- Результативность - завершение алгоритма определёнными результатами.

Алгоритм содержит ошибки, если приводит к получению неправильных результатов либо не даёт результатов вовсе.

Алгоритм не содержит ошибок, если он даёт правильные результаты для любых допустимых исходных данных.

Способы представления алгоритмов:

1. Словесный

2. Табличный

3. Формульный

4. Блок-схема.

3. Дано натуральное число п. Вычислить:

2/1 + 3/2 + 4/3 + … + (n+1)/n.

program lab18;

var i, n:integer;

sum:real;

begin

writeln('Vvedite n');

readln(n);

sum:=0;

for i:=1 to n do

sum:=sum+(i+1)/i;

writeln('Summa = ', sum);

end.

Билет №31

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа и оценка его погрешности

Будем считать данную функцию f(x) и полином близкими, если они совпадают на заданной системе точекxx0,x1 , ..., xn. Эти точки называются узлами интерполирования или узлами интерполяции. Таким образом, мы приходим к следующей задаче интерполирования: для данной функции f(x) найти полином низшей степени m, принимающий в заданных точках xi(i=0,n, , при ) те же значения, что и f(x) , т. е. такой, что: , ( ).

Такой полином называется интерполяционным.

Cуществует единственный полином степени не выше n, принимающий в точках x0,x1 , ...xn, заданные значения. Поэтому можно положить m=n. Коэффициенты ai полинома можно определить из системы уравнений:

где yi=f(xi) (i=o,n). Определитель этой системы есть так называемый определитель Вандермонда:

и, следовательно, система имеет единственное решение.

Полином Ln(x), коэффициенты которого определяются из системы, называется интерполяционным полиномом Лагранжа для функции f(x) и может быть записан в явном виде:

Если функция f(x) непрерывно дифференцируема на [a,b] до (n+1)-го порядка включительно, то остаточный член ее интерполяционного полинома Лагранжа имеет вид:

где — внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования x0,x1, ...xn, и точку x.

Справедлива оценка погрешности интерполяции в точке :

Здесь