3. Решите задачу линейного программирования графическим методом.
f=2x1+x2→min,
x1, x2
0,
2x1+3x2
6,
2x1+x2 4,
x1 1,
x1-x2 -1,
2x1+x2 1.
1) 2*x1 + 3*x2 = 6
x1 |
x2 |
0 |
2 |
3 |
0 |
2) 2*x1 + x2 = 4
x1 |
x2 |
0 |
4 |
2 |
0 |
3) x1 = 1
4) x1 – x2 = -1
x1 |
x2 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
5) 2*x1 + x2 = 1
x1 |
x2 |
0 |
1 |
0.5 |
0 |
Построим графики всех функций и найдем область, которую они ограничивают.
grad: (0,0) : (2,1).
Точка находится на пересечении 1 и 3 уравнений.
Решим систему:
2*x1 + x2 = 1
x2 = 0
x1 = 0.5
x2 = 0
f(max) = 2*0.5 + 0 = 1.
Проверим на Maple.
> with(plots);
> inequal({2*x1+3*x2<=6, 2*x1+x2<=4, x1<=1, x1-x2>=-1, 2*x1+x2>=1, x1>=0, x2>=0}, x1=-5..5, x2=-5..5, optionsfeasible=(color=blue),optionsexcluded=(color=white));
> with(simplex);
> minimize(2*x1+x2, {2*x1+3*x2<=6, 2*x1+x2<=4, x1<=1, x1-x2>=-1, 2*x1+x2>=1}, NONNEGATIVE);
Билет №13
Метод
производящих функций. Бином Ньютона
.
Основные тождества с биномиальными
коэффициентами.
В
комбинаторике производящая функция
последовательности {
}
— это формальный степенной ряд.
Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда
и
имеют радиус сходимости ноль, то есть расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба равны 1, то есть как функции они совпадают; тем не менее, как формальные ряды они различаются.
Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
Свойства
Производящая функция суммы (или разности) двух последовательностей равна сумме (или разности) соответствующих производящих функций.
Произведение производящих функций
и
последовательностей {an} и {bn} является
производящей функцией свёртки
этих последовательностей:
.
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
Где
— биномиальные коэффициенты, n —
неотрицательное целое число.
Доказательство
Докажем это равенство индукцией по n:
База индукции: n = 1
Шаг индукции: Пусть утверждение для n верно:
Тогда надо доказать утверждение для n + 1:
Начнём доказательство:
Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать.
В
математике биномиальные
коэффициенты
— это коэффициенты в разложении бинома
Ньютона
по степеням x.
Коэффициент при
обозначается
(иногда
)
:
Тождества
