Линейное пространство

Тема: Определение линейного пространства

Линейное пространство  обладает следующим свойством:

			для любого
			для любого  может существовать несколько противоположных элементов
			для любого
			может существует несколько нейтральных элементов

Решение: Линейное пространство обладает следующими свойствами: 1) нейтральный элемент  является единственным; 2)  для любого ; 3) для любого  противоположный элемент  является единственным; 4)  для любого ; 5)  для любых  и .

Тема: Базис и размерность линейного пространства

Линейно зависимыми будут вектора …

			, ,
			, ,
			, ,
			, ,

Решение: Определитель, составленный из координат линейно зависимых векторов, равен нулю.  Векторы , ,  – линейно зависимы.

Тема: Определение линейного пространства

На  линейном пространстве  задана операция …

			, для любых
			, для любых
			, для любых
			, для любых

Тема: Определение линейного пространства

Линейное пространство  не обладает свойством…

			для любого  может существовать несколько противоположных элементов
			для любого
			для любого
			нейтральный элемент  является единственным

Тема: Определение линейного пространства Среди представленных множеств линейное пространство образует …

			множество всех комплексных чисел
			множество всех натуральных чисел
			множество всех положительных иррациональных чисел
			множество всех отрицательных рациональных чисел

Решение: Множество   образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов   определены операции сложения   и умножения на действительное число  ;   со свойствами: 1.  2.  3.  4.  5.  6.  При проверке аксиом получим: для множества натуральных чисел, множества всех положительных иррациональных чисел и множества всех отрицательных рациональных чисел не выполняется шестая аксиома.

Тема: Базис и размерность линейного пространства Линейно независимыми будут векторы …

			,  ,
			,  ,
			,  ,
			,  ,

Решение: Если векторы линейно независимы, то определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю. Составим и вычислим определители для каждой совокупности векторов: 1)  ; следовательно, векторы  ,  ,   линейно независимы; 2)  , так как первые две строки пропорциональны; следовательно, векторы  ,  ,   линейно зависимы; 3)  , так как первый и третий столбцы равны; следовательно, векторы  ,  ,   линейно зависимы; 4)  , так как первый столбец состоит из нулевых элементов; следовательно, векторы  ,  ,   линейно зависимы.

18