Линейная алгебра Раздел: Вычисление определителей
Тема: Вычисление определителей
Определитель
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Определитель
второго порядка вычисляется по формуле:
.
Тема: Вычисление определителей
Корень
уравнения
равен
…
|
|
|
– 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
– 5 |
|
|
|
3 |
Решение:
Определитель
третьего порядка можно вычислить,
например, разложением по элементам
первой строки:
.По
условию задачи определитель должен
равняться 0, то есть
.
Следовательно,
.
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …
|
|
|
– 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
– 5 |
|
|
|
3 |
Решение: Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: .По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть . Следовательно, .
Тема:
Вычисление
определителей
Корень
уравнения 
равен
…
|
|
|
– 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
– 9 |
Решение:
Определитель
третьего порядка можно вычислить,
например, разложением по элементам
первой строки:
. По
условию задачи определитель должен
равняться 
,
то есть 
.
Следовательно, 
.
Линейные операции над матрицами
Тема: Линейные операции над матрицами
Дана
матрица
.
Если
,
то матрица
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
умножении матрицы на число каждый
элемент матрицы умножается на данное
число. При сложении или вычитании матриц
одинаковой размерности соответствующие
элементы матриц складываются или
вычитаются друг из друга. В данном
случае:
Тема: Умножение матриц
Соотношение
выполняется,
только для …
|
|
|
перестановочных матриц |
|
|
|
единичных матриц |
|
|
|
диагональных матриц |
|
|
|
нулевых матриц |
Решение: Соотношение выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Тема: Линейные операции над матрицами
Дана
матрица
.
Если
,
где
–
единичная матрица того же размера, что
и матрица
,
то матрица
равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Матрица
находится
следующим образом:
.
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны
матрицы
и
.
Тогда решением уравнения
является
матрица
,
равная …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема:
Линейные
операции над матрицами
Матрицы 
имеют
одинаковую размерность. Если
–
единичная матрица того же размера, что
и матрицы
,
и матрица 
,
тогда верно равенство …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Если выразить матрицу , то получим равенство: .
Тема:
Умножение
матриц
Даны
матрицы 
и 
.
Тогда матрица 
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Произведением 
матрицы
размера 
на
матрицу 
размера 
называется
матрица 
размера 
,
элемент которой 
равен
сумме произведений соответственных
элементов i-й
строки матрицы
и
j-го
столбца матрицы
.
То
есть 
.
Тема: Обратная матрица
Для
матрицы
обратная
матрица равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Обратная
матрица имеет вид
,
вычислим
Получается,
что
Тема: Обратная матрица
Для
матрицы
существует
обратная, если она равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Всякая
невырожденная квадратная матрица имеет
обратную матрицу, то есть матрица имеет
обратную, если определитель матрицы не
равен нулю, тогда
Тема: Ранг матрицы
Дана
матрица
.
Тогда ранг матрицы
|
|
|
равен 3 |
|
|
|
равен 1 |
|
|
|
равен 0 |
|
|
|
не определен |
Решение:
Рангом
матрицы называется наибольший из
порядков ее миноров, не равных нулю.
1)
Проверим существование обратной
матрицы
,
для чего вычислим определитель матрицы
(разложением
по третьему столбцу)
,
следовательно обратная матрица
существует.
2) Тогда матрица
,
то есть единичной матрице размерности
3×3. Следовательно, существует ненулевой
минор третьего порядка:
,
то
есть ранг матрицы равен трем.
Тема: Обратная матрица
Если
,
,
то решение матричного уравнения
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Обратная матрица Если , , то решение матричного уравнения имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Решение
матричного уравнения имеет вид:
,
где
–
обратная матрица.
Вычислим
последовательно 
Тогда 
.
Следовательно, 
.