8 лекций подряд, решаем задачи, их надо сделать к концу апреля, апрель – май даем задачи, excel
Предметы и задачи курса.
Математическое программирование курс, связанный с математическим моделированием.
В задачах экономики и управления, как и в анализах систем, возникают проблемы связанные с наилучшим принятием решений. Выбор параметров принятия решения осуществляется из допустимых вариантов. При этом важным понятием является критерий принятия решения (максимум прибыли, минимум затрат, минимум времени и т.д.). Наилучшим принятием решения в задачах экономики и управления можно осуществлять через формализацию на основе математических моделей. Процесс построения принятия решений осуществляется по следующей схеме: постановка задачи → формализация (математическая модель) → разработка методов решения математической задачи → алгоритм задачи → компьютерная программа → численный эксперимент (получение результата) → анализ, в некотором смысле, на устойчивость полученного решения → анализ на здравый смысл → принятие решения.
Все эти этапы реализуются с помощью:
ЛПР (лицо принимающее решение)
Прикладной математик
Просто математик
Специалист компьютерных технологий
Все они вместе образуют группу принятия решений или группа исследования операций (старое название) и так же старое название – группа мозговой атаки. Все это вылилось из науки исследования операций, появилась в 40-ых годах, когда был высажен десант.
В настоящее время сформировалась группа математическая поддержка принятия решений (математическое программирование или методы оптимизации принятия решений – основа этой науки).
Основные задачи и модели, используемые в математическом программировании.
Задача распределения ресурсов. Пусть предприятие может выпустить 4-ре продукта измеряемых в следующих величинах: грамм, килограмм, центнер и тонна. Продукты продаются на рынке по ценам соответственно: 4 деньги за грамм, 5 денег за килограмм и 9 денег за центнер и 11 денег за тонну. Продукты изготавливаются из трех видов ресурсов запасы, которых соответственно: 15 метров, 120 литров и 100 часов. Нормы расходов каждого ресурса, на каждый продукт определяет следующей табличкой
I |
II |
III |
IV |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
4 |
5 (л/т) |
10 |
12 |
13 |
14 |
Определить такой план выпуска продукции, чтобы суммарный доход был максимальный.
Ресурсы – технологии – деньги.
Модель этой задачи.
Обозначим выпуск продукции X1, X2, X3, X4. Это вещественные числа, т.е. любе доли грамм, килограмм, центнера и тонн.
Maxd = 4*X1 + 5*X2 + 9*X3 + 11*X4
По первому ресурсу ограничения 1р ~ 1*X1 + 1*X2 + 1*X3 + 1*X4 ≤ 15
По второму ресурсу ограничения 2р ~ 3*X1 + 2*X2 + 4*X3 + 5*X4 ≤ 120
По третьему ресурсу ограничения 3р ~ 10*X1 + 12*X2 + 13*X3 + 14*X4 ≤ 100
X>0 продукт выпускается, X<0 продукт не выпускается. (X – любое) Ограничение, а выпуск X≥0
X любое и дробное и целое действительное число принимается по умолчанию, если искомые параметры могут принимать только целочисленные значения или дискретные, то необходимо это в моделях отмечать.
Функция d соответствующий критерий принятия решения называется функцией цели. Ограничения по ресурсам называется ограничением задач, а ограничение на знак переменных (x≥0) называется ограничение на тип искомых величин – переменных. В нашем случае не отрицательная, вещественная.
Это классическая задача на выпуск продукции. Выпуск продукции – это программа предприятия, т.е. мы «программируем» предприятие с помощью математики. Значит, мы имеем задачу математического программирования (ЗМП). Придумал и сформулировал историю этой науки Конторович, он был гений, где-то в 37 году, он решил транспортную задачу и потом решил нашу задачу (см. выше) и много других подобный. Купнонс – другой ученый. Нобелевская премия в 72 году была получена ими двумя.
Замечания к задаче распределение ресурсов:
Могут быть ограничения на выпуск продукции, например, выпускать второго продукта не меньше 2 кг (X2≥2)
Ограничение на комплектность. Пусть, продукты следует выпускать в комплекте, каждая из которых содержит 2 грамма первого, 3 кг второго, 1 центнер третьего, 1 тонну четвертого. Тогда необходимо записать следующее
;
;
.X по своему типу может быть не только вещественным, но и целым числом. Например, вы считаете количество станков, количество деталей, людей и т.д., т.е. продукты неделимые. Тогда в ограничения необходимо написать Х – целое. Тип Х может быть и дискретный, т.е. вы берете не любое число, а из набора чисел. Например, X1 =
.Задача на максимум ОБЯЗАТЕЛЬНО содержит ограничения типа меньше или равно или равно, если таких ограничений нет, то ответ тривиальный – бесконечность.
Функция цели может быть и на минимум (например, минимум затрат на производство продукции), но тогда должны быть обязательно ограничения вида больше или равно, либо равно, чтобы не получить тривиальный ответ – 0. Т.е. если вы решаете на минимум затрат (наименьшие затраты), то обязательно должно быть условие на выпуск продукции (выпустить не меньше).
Именно противоречия между функцией цели и ограничениями дает нам наилучшую или оптимальную точку.
Эта задача для Х – произвольная, является линейной задачей или ЗЛП (задачей линейного программирования). При этом функция цели линейная для Х, а ограничения линейные, не строгие неравенства или равенства. Это классическая задача называется задачей распределения ресурсов, позволяет определить выпуск продукции так, чтобы получить максимальную выгоду.