Алгоритм симплекс-метода

1. Пусть есть некакая угловая точка

2. Выбираем самую большую нормированную цену для небазисных переменных, если она отрицательная или нулевая, то данная угловая точка оптимальная. Если нет то переходим к пункту 3.

3. Переменная, выбранная в пункте 2, теперь пойдет в базис, т.е. она будет увеличиваться от нуля. Теперь ищется первая переменная из базиса, которая обнулится или станет равной нулю.

4. Эти две переменные меняем местами (т.е. новую небазисную переменную обнуляем и ищем новую угловую точку и переходим к пункту 2).

Остается только одна проблема: как попасть в начальную угловую точку. Если точка с нулевыми координатами (тривиальное решение) не может быть начальной угловой (как в нашем случае), то приходится решать вспомогательную задачу специального вида симплекс-метода с очевидной начальной точкой.

****

То вспомогательная задача имеет вид *

Сделать задачу в симплекс-методе, привести в каноническому виду.

Каноническое понятие двойственности

Можно рассматривать исходную задачу, как задачу распределения ресурсов на максимум доходов.

Экстенсивный путь развития любого предприятия включает в себя следующие стратегии:

1. Докупать ресурс ясно по такой цене, чтобы доход от нового ресурса превысил затраты на его покупку.

2. Продавать излишки ресурсов по любой цене.

3. Подать часть ресурсов по «хорошей цене», потерять в продукции, но компенсировать продажей ресурсов.

4. Продать все ресурсы, но по таким ценам, чтобы получить больше, чем L_{оптимальное}.

5. Выпускать Х_опт получать L_опт.

Ясно что, хорошо бы заранее знать, хорошие цены, чтобы применять ту или иную экстенсивную стратегию. Вот эти цены и получаются из решения двойственной задачи.

Двойственная задача как бы противник, который нам не дает заработать больше, чем L_опт. По последней стратегии всегда получим, т.е. двойственная задача описывает виртуальный рынок ресурсов.

Построение двойственной задачи

Задача на минимум и максимум строятся по разному:

1. Исходная задача на максимум:

   1. Каждому ограничению, кроме ограничению в знаке, ставятся в соответствии двойственная переменная u_i (двойственная переменная).

   2. Функция цели двойственной задачи – это сумма произведений правой части на двойственную переменную. Ищется минимум L двойственного

   3. Если Ui соответствует ограничению меньше или равно, то в двойственной больше или равно и наоборот, а если u_i равеству, то в двойственной любой знак.

   4. В каждой переменной x_i ставится в соответствие следующее ограничение: берутся коэффициенты при x_i в каждом ограничении и умножаются на u_i соответствующее. И все это сравнивается с C_i (коэффициентом функции цели). При этом если в исходном Х итое больше или равно нулю, то в двойственном ограничение ограничение такое же, если в исходном Х итое меньше или равно. И наоборот, а если меньше или больше, то равно.

Пример 1,

2. Исходные задачи на минимум: все наоборот.

   1. Тоже самое

   2. Тоже самое, но на максимум

   3. Знаки наоборот

   4. Неравенства наоборот

Пример 2,