Програма державного екзамену з математики з методикою її викладання

для спеціалістів на базі освітньо-кваліфікаційнрго рівня “бакалавр” спеціальності 7.04020101 “ Математика*”

Програма розглянута та затверджена на засіданні кафедри вищої математики (протокол № 6 від 16 січня 2007р.)

Вища математика

1. Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку. Зв’язок з системою звичайних диференціальних рівнянь у симетричній формі.

2. Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними ІІ порядку для випадку двох і багатьох незалежних змінних.

3. Метод характеристик. Розв’язок мішаної задачі для рівняння гіперболічного типу. Формула Даламбера. Фізична інтерпретація розв’язку.

4. Загальна схема методу Фур’є. Крайова задача Штурма-Ліувіля на знаходження власних значень, власних функцій. Теорема Стеклова.

5. Поняття потенціалу як безрозмірної узагальненої величини кількісної взаємодії між об’єктами (рівняння Лапласа, Пуассона). Моделювання стаціонарних процесів за допомогою рівнянь еліптичного типу.

6. Топологічні простори. Підпростір топологічного простору.

7. Види топологічних просторів. Топологія, індукована метрикою.

8. Поняття метричного простору. Простір ізольованих точок. Метричні простори R₁, R⁽ⁿ⁾, C_[a,b].

9. Граничні точки, точки дотику, замикання множини. Сепарабельні простори. Послідовність в метричному просторі. Границя послідовності.

10. Стискаючі відображення, їх неперервність. Теорема Банаха, її геометричне тлумачення.

11. Поняття лінійного простору. Приклади. Лінійна залежність і лінійна незалежність елементів. Нескінченно-вимірні простори. Підпростори.

12. Означення і приклади нормованих просторів. Означення евклідових просторів. Нерівність Буняковського-Коші.

13. Означення і приклади лінійних операторів. Неперервність і обмеженість. Норма операторів. Сума і добуток операторів. Обернений оператор, оборотність.

14. Бінарні відношення. Рефлексивні, симетричні, транзитивні бінарні відношення. Класи еквівалентності, фактор-множина.

15. Бінарні відношення порядку, його властивості. Мінімальні та максимальні елементи. Впорядковані множини.

16. Групи. Приклади груп. Основні властивості груп.

17. Ізоморфізм та гомоморфізм груп. Його властивості.

18. Кільце, приклади кілець. Основні властивості кілець. Ізоморфізм та гомоморфізм груп.

19. Поле. Приклади полів, основні властивості полів. Ізоморфізм та гомоморфізм полів.

20. Поле комплексних чисел. Комплексні числа, алгебраїчна форма комплексних чисел.

21. Неперервні відображення топологічних просторів і їх властивості. Гомеоморфізм.

22. Теорема Ейлера для мнрогогранників.

23. Суть сучасного аксіоматичного методу. Основні вимоги до системи аксіом. Поняття про інтерпретацію системи аксіом.

24. Точково-векторна аксіоматика Вейля трьохвимірного евклідового простору і її несуперечливість.

25. Вимірювання многокутників. Площа многокутника і її аксіоми. Теорема існування і єдиності.

26. Рівноскладеність і рівновеликість многокутників і многогранників.

27. Аксіоматика площини Лобачевського. Абсолютна геометрія. Паралельні напрямлені прямі на площині Лобачевського і їх властивості.

28. Взаємне розміщення прямих на площині Лобачевського. Теорема про існування розбіжних прямих і наслідки з неї. Критерій розбіжності двох прямих.

29. Трикутники на площині Лобачевського.

30. Незалежність аксіоми паралельності від решти аксіом Д. Гільберта.