1.3. Определение статистических характеристик технологического процесса.

По истинным величинам размеров деталей рассчитывают статистические характеристики, которые можно разделить на меры положения и меры рассеивания.

Меры положения позволяют оценить среднее значения случайной величины вдоль оси абсцисс. С их помощью выявляют наиболее вероятные значения размеров. К мерам положения относят: среднее арифметическое значение D_ср, медиану и моду Х_m. Среднее арифметическое значение D_ср определяется по формуле:

, (4)

где Х_j - значение середин интервалов;

m_j – частота;

n – объем выборки.

Величина D_ср называется средневзвешенной, т.е. характеризующей центр тяжести площади под кривой распределения. Она определяет эмпирический центр группирования и используется для характеристики выборок большого объема.

Медианой называют срединное значение в ряде измеренных значений размеров деталей, упорядоченных по их возрастанию или убыванию. Медиана используется для анализа малых выборок.

Модой эмпирического распределения называют значения размера детали, соответствующее наибольшей ординате эмпирической кривой распределения. Из данных, приведенных в табл.2 и рис.1 следует, что величина моды Х_m=100,21. Эта величина равна значению середины интервала, характеризующего наибольшей частотой, то есть:

Х_m=Хj =Х(4)=100,21; m_j=m(4)=15.

Меры рассеивания характеризуют разброс или поле рассеивания размеров деталей. С их помощью оценивают точность работы оборудования, рассчитывают технологически возможный допуск на данной операции и т.д. К мерам рассеивания относят: эмпирическое среднее квадратичное отклонение S и размах R.

Эмпирическое среднее квадратичное отклонение характеризует рассеяние значений случайных величин в выборке относительно эмпирического центра группирования (D_ср) и при n> 25 определяется по формуле:

(5)

При n<25 сумма под корнем делится на n-1.

Вычисление статистических характеристик D_ср и S несколько упростится, если отсчет значений X_j вести от подходящим образом выбранного начала отсчета D_0. На практике величину D₀ обычно принимают равной значению моды Х_m . Тогда получаем линейную зависимость:

Х_j=D₀+U_J

при указанной замене расчетные формулы (4) и (5) принимают следующий вид:

D_ср=D₀ +U_ср

где U_ср=

Данные для расчета D_ср и S по формулам (6) и (8) удобно представить в табличной форме (табл. 2, столбцы 3,6,7,8,9). Для данного примера:

U_ср=-0,18*0,06+(-0,12)*0,06+ (-0,06)*0,14+ 0,06*0,2+0,12*0,14+0,18*0,1=0,0204;

Тогда:

D_ср=100,21+0,02=100,23;

=0,094

1.4. Определение теоретического закона распределения случайных величин.

При увеличении объема выборки и количества интервалов разбиения ломаная линия эмпирической кривой распределения становится более плавной, т.е. при n кривая приближается к теоретической. Уравнение, описывающее кривую теоретического распределения, называется законом распределения.

Для эффективного анализа точности технологического процесса необходимо установить, какому теоретическому закону подчиняется распределение опытных данных выборочной совокупности. Далее, производя замену опытного распределения теоретическим законом, свойства последнего можно перенести на опытное распределение, облегчая работу технолога по анализу причин, формирующих точность показателей.

Экспериментально установлено, что около 60% всех выходных технологических параметров обработки подчиняются закону нормального распределения, т.е. закону Гаусса. Этому же закону подчиняется и рассеяние размеров деталей, анализу которого посвящена данная работа.

Уравнение кривой нормального распределения имеет вид:

,

Где У –плотность вероятности;

М₀ и  - параметры закона распределения Гаусса;

Х – аргумент функции плотности вероятности, который изменяется в пределах:

-<х<;

е –основание натурального логарифма.

Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, характеризуются следующими свойствами:

-малые по величине погрешности встречаются чаще, чем большие;

-отрицательные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто;

-алгебраическая сумма отклонений от среднего значения равна нулю.

Кривая плотности вероятности нормального распределения (рис.1) симметрична относительно максимальной ординаты. Параметр представляет собой абсциссу, соответствующую оси симметрии кривой нормального распределения и называется математическим ожиданием. Этот параметр является теоретическим аналогом среднего арифметического значения D_ср. для выборки. Параметр  называется теоретическим средним квадратичного отклонением и является теоретическим аналогом эмпирического (выборочного) среднего квадратичного отклонения S .

Положение и форма кривой зависят от величины и . При изменении форма кривой остается прежней, смещаясь при этом по оси абсцисс. Величина  оказывает влияние на форму кривой распределения. Так, например, при уменьшении величины среднего квадратичного отклонения кривая «сжимается» по оси абсцисс и «вытягивается» вдоль оси ординат.

На теоретической кривой нормального распределения выделяют 5 характерных точек. Максимальную ординату кривой, соответствующую (точка 3, рис.1) определяют по формуле:

(10)

На расстоянии  от вершины кривая имеет две точки перегиба (точки 2 и 4, рис. 1) ординаты которых равны:

(11)

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии 3 от положения вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что в этих пределах оказывается 99,73% всей площади под кривой нормального распределения, т.е. практически 100% . Возникающая при этом погрешность 0,27% существенного значения для инженерных расчетов не имеет. Поэтому можно принять, что У_1,5=0.

Величина =6 является фактическим полем рассеяния размеров деталей. Следует различать эмпирическое и фактическое поле рассеяния. Эмпирическое – определяется размахом R. Величина фактического поля рассеяния определяется для генеральной совокупности в предположении, что n . Исходя из этого всегда >R, причем разница -R уменьшается с увеличением объема выборки.

Теоретический закон распределения оценивает генеральную совокупность. Если из этой совокупности берется представительная выборка, то на основании теории больших чисел можно считать, что распределение размеров деталей в выборке будет отражать характер распределения всей генеральной совокупности, тогда при статистических расчетах с некоторыми допущениями можно принять:

D_ср ; а S.

Погрешность соответствия  и S зависит от числа элементов выборки n и учитывается поправочным коэффициентом Р, приведенным в табл.3.

Таблица 3.

Значения поправочного коэффициента Р в зависимости от объема выборки n

Значения коэ-та Р	Объем выборки n
	20	25	30	40	50	60	80	100	200	300	400	500
	1,46	1,4	1,37	1,31	1,28	1,25	1,22	1,20	1,16	1,14	1,12	1,10

Тогда: =р*S=1,28*0,094=0,12 (12)

На практике фактическое поле рассеяния определяется с учетом погрешности по формуле:

=0,12*6=0,72 (13)

Определение поля рассеивания  является важнейшей задачей анализа технологических процессов, поскольку только фактическое поле рассеяния размера деталей объективно отражает точность контролируемого параметра в реальных производственных условиях. Для построения теоретической кривой распределения для нашего примера необходимо значения ординат характерных точек выразить в единицах частоты:

(14)

(15)

Абсциссы соответствующих точек равны:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Полученные точки соединяют плавной кривой (рис. 1, кривая 3.).