3.3. Переходный процесс в резистивно-емкостной цепи при воздействии прямоугольного импульса напряжения

3.3.1. Реакция интегрирующей цепи на прямоугольный импульс.

Прямоугольный импульс напряжения может быть представлен в виде алгебраической суммы двух ступенчатых напряжений и (рис. 9), т. е.

,

где E – амплитуда импульса;

t_и – длительность импульса.

В интервале времени 0  t  t_и переходный процесс имеет нулевые начальные условия и определяется воздействием единственной ступенчатой функции . Реакция электрической цепи на это воздействие была рассмотрена в разделе 3.2 и, следовательно, изменение напряжений на емкости и сопротивлении в этом интервале времени описывается полученными ранее соотношениями (3) и (4).

Рис. 9. Представление прямоугольного импульса напряжения в виде алгебраической суммы ступенчатых функций

В интервале времени t_и  t  ∞ переходный процесс имеет ненулевые начальные условия, т.к. прекращение импульса эквивалентно выключению источника напряжения, от воздействия которого в электрическом поле емкости была запасена некоторая энергия. Дифференциальное уравнение, описывающее состояние цепи в этом интервале времени, имеет вид

Его решение может быть найдено аналогично решению уравнения (1) с учетом того, что .

В результате можно получить

. (6)

Таким образом, при импульсном воздействии напряжение на емкости, т.е. на выходе интегрирующей цепи, в интервале времени 0  t  t_и описывается выражением (3), а в интервале t_и  t  ∞ – выражением (6).

На рис. 10 по этим выражениям построены графики напряжения на выходе резистивно-емкостной интегрирующей цепи для различных соотношений между τ и t_и. Из этих графиков следует, что:

– при τ  t_и форма входного импульса изменяется незначительно, а погрешность интегрирования настолько велика, что можно говорить о том, что цепь теряет свои интегрирующие свойства;

– при τ  t_и электрическая цепь имеет ярко выраженные интегрирующие свойства.

Рис. 10. Выходные напряжения резистивно-емкостной интегрирующей цепи при воздействии прямоугольного импульса напряжения

Очевидно, что ошибка интегрирования ΔU_инт имеет максимальное значение при t = t_и. При этом относительная ошибка δ_и = t_и/2τ будет тем меньше, чем сильнее соотношение τ  t_и , т. е. чем больше τ. Зная допустимое значение δ_и, легко определить необходимое соотношение между τ и t_и. Например, если δ_и = 0,1, то τ = 5t_и.

Однако увеличение τ и уменьшение относительной ошибки интегрирования δ_и ведет к уменьшению амплитуды выходного напряжения U_C(t_и). Действительно, с учетом (5) можно записать

.

Так как обычно для интегрирующих цепей выполняется соотношение δ_и  1, то

U_C(t_и) ≈ 2Eδ_и.

Полученные соотношения хорошо отображают противоречивые требования к выбору постоянной времени τ интегрирующей цепи с точки зрения точности интегрирования и эффективности использования входного сигнала: увеличение τ с целью повышения точности интегрирования ведет к уменьшению U_C(t_и), т. е. уменьшению эффективности использования входного сигнала и наоборот.

С физической точки зрения при воздействии прямоугольного импульса напряжения в интегрирующей цепи протекает процесс заряда емкости с постоянной времени τ от источника входного напряжения. Если t_и > 3τ, то емкость успевает зарядиться практически полностью, т. е. U_C(t_и) ≈ E, и переходный процесс в цепи успевает закончиться в течение длительности импульса t_и. Если t_и < 3τ , то емкость не успевает зарядиться полностью, т. е. переходный процесс не успевает закончиться в течение длительности импульса. После окончания импульса емкость разряжается с той же постоянной времени, и напряжение на ней убывает до нуля.

Для съема выходного напряжения к выходу интегрирующей цепи подключается некоторая нагрузка, которая может быть представлена активным сопротивлением R_Н (рис. 11,а).

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике э.д.с. от этой схемы можно перейти к простейшей цепи (рис. 11,б), где

.

Рис. 11. Подключение нагрузки к интегрирующей цепи и преобразование схемы

Следовательно, при подключении нагрузки выходное напряжение интегрирующей цепи описывается теми же выражениями (3) и (6) с учетом новых значений амплитуды входного импульса и постоянной времени , т. е.

.

График U_вых(t), построенный по этим выражениям для некоторого значения R_Н, приведен на рис. 12. На этом же рисунке для сравнения приведен график U_вых(t) той же самой цепи при R_Н →∞.

Рис. 12. Влияние сопротивления нагрузки на выходное напряжение интегрирующей цепи

Таким образом, учет сопротивления нагрузки R_Н приводит к уменьшению постоянной времени цепи и выходного напряжения в R + R_Н/R_Н раз.

Поэтому для повышения эффективности интегрирующей цепи сопротивление R необходимо выбирать из условия согласования с нагрузкой R  R_Н, а требуемую постоянную времени обеспечивать за счет емкости конденсатора.

Если входные импульсы поступают на интегрирующую цепь с генератора с внутренним сопротивлением R_Г ≠ 0 (рис. 13,а), то это приводит к увеличению постоянной времени цепи до значения τ_ЭГ = C(R + R_Г) без изменения установившегося значения напряжения на емкости U_C(∞) (рис. 13,б), т.е. лишь к изменению скорости нарастания выходного напряжения.

Рис. 13. Влияние внутреннего сопротивления генератора на выходное напряжение интегрирующей цепи

Интегрирующие цепи широко применяются на практике:

– для формирования линейно-изменяющихся импульсов напряжения и тока;

– для удаления импульсов;

– для селекции импульсов по длительности;

– для внесения временных задержек на пути распространения импульсных сигналов;

– для фильтрации переменной составляющей напряжения.