3.3.2. Двоичная система счисления

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления.

Это система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1.

Произвольное число Х в двоичной системе представляется в виде полинома:

X=а_n2ⁿ+...а₀2⁰+ а_-12^-1+...+ а_-m2^-m... (3.7)

где каждый коэффициент а, может быть либо 0, либо 1.

Примеры изображения чисел в двоичной системе счисления:

2=10₂; 10=1010₂; 0.25=0.01₂.

Таблица сложений чисел в двоичной системе имеет вид

0+0=0; 1+0=1; 0+1=1; 1+1=10

Таблица умножений в двоичной системе счисления имеет вид

00=0; 10=0; 01=0; 11=1

Так как в двоичной системе счисления для изображения любых чисел используются только две различные цифры, то при построении ЭВМ можно использовать элементы, которые могут находиться только в двух состояниях. Это обстоятельство, а также простота выполнения арифметических операций являются причиной того, что большинство современных ЭВМ используют двоичную систему счисления.

3.3.3. Другие позиционные системы счисления

Неудобство использования двоичной системы счисления заключается в громоздкости записи чисел. Это неудобство не имеет существенного значения для ЭВМ. Однако если возникает необходимость кодировать информацию <вручную>, например, при составлении программы на машинном языке, то предпочтительнее оказывается пользоваться восьмеричной или шестнадцатеричной системой счисления.

3.3.4. Смешанные системы счисления

В ряде случаев числа, заданные в системе счисления с основанием Р, приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q<P. Такая ситуация возникает, например, когда в ЭВМ, способной непосредственно воспринимать только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа, с которыми мы привыкли работать. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент P-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе Р называется старшим основанием, ф Q - младшим основанием, а сама смешанная система называется (Q-P)-ичной. Для того чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой Р-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любого базисного числа Р-ичнои системы. Так, в смешанной двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда. Например, десятичное число x=925 в двоично-десятичной системе запишется в виде 100100100101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2, 5 записи числа в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание, что хотя в двоично-десятичной записи числа и используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, приведенный выше двоичный код в двоичной системе счисления изображает число 2341, а не число 925. Принадлежность числа к (Q - Р)-ичной системе счисления с помощью нижнего индекса (Q - Р) при данном числе, например: 925₁₀=100100100101_2-10.