31) Производные тригонометрических функций

• Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):

32) Производные обратных тригонометрических функцй

33) Производная логарифмической функции

Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций y=log_ax и у = а^x симметричны относительно прямой у=х. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения. Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле (1)По основному логарифмическому тождеству х = е^{ln х} при всех положительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на R₊). Поэтому производные х и е^{ln x} равны, т. е.x' = (e^{ln x})' (2)Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1 : (е^{ln x})'= е^{ln х} ln' x=x ln' x. Подставляя найденные производные в равенство (2), находим l = х ln' х, откуда . Формула (1) показывает, что для функции на промежутке(0; ∞) любая первообразная может быть записана в виде ln x + С. Функция имеет первообразную и на промежутке (—∞; 0), это функция ln( —x). Действительно, Так как |x| = х при х>0 и |x| = —х при х<0, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной для функции является функция ln |x| .

34) Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что при Δx→0. Введем обозначения: Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= ΔfТогда Δh = h(х₀ + Δх) - h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) - g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) - g(y₀) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

35) Производная степенной функции

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова: (xⁿ)’=nx^n-1 (1)Формула производной функции х² уже известна: (х²)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем: (x³)’=( x²⋅x)’= (x²)’x+ x²(x)’= 2x⋅x + x²⋅1=3 x²;(x⁴)’=( x³⋅x)’= (x³)’x+ x³(x)’= 3x²⋅x+ x³⋅1=4x³.Заметим теперь, что (x²)’=2x^2-1, (x³)’=3x^3-1, (x⁴)’=4x^4-1, т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д. Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4. Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что (x^k)’=kx^k-1.Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно, (x^k+1)’=(x^k⋅x)’=( x^k)’⋅x + x^k⋅(x)’= kx^k-1⋅x + x^k = (k+1) x^kПоэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции). Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0 (x¹)’=1⋅x^1-1 = 1⋅x⁰ =1,(x⁰)’=0⋅x^0-1 = 0,что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта. Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0: В результате можно сделать вывод: Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1) (xⁿ)'=nx^n-1Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференциремы в каждой точке своей области определения.