28) Производная и ее смысл

Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

29) Уравнение касательной

Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке A (x₀; f(x₀)). Уравнение прямой с угловыми коэффициентом f’(x₀) имеет вид: y = f’(x₀)*x + bДля вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f(x₀) = f’(x₀)*x₀ + b, откуда b = f(x₀)-f’(x₀)*x₀,значит, уравнение касательной таково: y=f’(x₀)x-f’(x₀)*x₀+f(x₀),или y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀).

30) Основные правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.1) (u  v) = u  v2)(uv) = uv + uv3) , если v  0 Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';2) (u+v)' = u'+v';3) (uv)' = u'v+v'u;4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или ;6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   ≠ 0, то .Таблица производных На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^m)' = m u^m-1 u' (m принадлежит R¹ ) 2. (a^u)' = a^u lna× u'.3. (e^u)' = e^u u'.4. (log_a u)' = u'/(u ln a).5. (ln u)' = u'/u.6. (sin u)' = cos u× u'.7. (cos u)' = - sin u× u'.8. (tg u)' = 1/ cos²u× u'.9. (ctg u)' = - u' / sin²u.10. (arcsin u)' = u' / .11. (arccos u)' = - u' / .12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).Вычислим производную степенно-показательного выраженияy=u^v, (u>0), где u и v суть функции от х, имеющие в данной точке производные u', v'.Прологарифмировав равенство y=u ^v, получим ln y = v ln u.Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).Итак,(u ^v)'=u ^v (vu'/u+v' ln u), u > 0.Например, если y = x ^{sin x}, то y' = x ^{sin x} (sin x/x + cos x× ln x).Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой точке конечную производную y', то  = y'+ α, где α→0 при Δх →0; отсюда Δy = y' Δх + αx.Главная часть приращения функции, линейная относительно Δх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' Δх. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x'Δх = 1×Δх =Δх, поэтому dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной  можно рассматривать как дробь.Приращение функции Δy есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.