- •§ 1. Преобразование координат. Условное обозначение
- •§ 2. Контравариантные векторы. Конгруэнции кривых. Пусть задана система п функций от переменных х и пусть п функций у* определяются равенствами
- •§ 4. Тензоры. Симметрические и кососимметрические тензоры. Пусть л', |л-' — компоненты двух контравариант- ных векторов, а — компоненты двух ковариантных векторов. Если положить
- •Глава I
28
§
7. Трехиндексные символы Кристоффеля
и зависимость между ними. Рассмотрим
симметрический кова- риантный тензор
второй валентности £,;-
и обратный ему тензор ^ и определим два
выражения, введенные Кри-
стоффелем,
которыми мы часто будем пользоваться,
именно:
{
'/}=81л[«7ДП (7.2)
Заметим,
что из определения симеолов
[г/,
А:] и | | вытекает, что они
оба
симметричны относительно индексов
г
и
/. Симеолы,
определенные
равенствами (7.1) и (7.2), называются
символами
Кристоффеля первого
и второго
рода
соответственно. Из равенств (7.2) и
(6.2) получаем:
{
<7 } = [г/>
^=
£*
[//'
к1
= (7-3)
Равенство
(7.1) дает
*]+[&/,;]■ (7.4)
Дифференцируя
равенства (6.2) по х1,
получим адёч
, дв”'
п
?
77
+
е**м=0'
Умножив
теперь на %кт
и суммируя по к.
найдем
Р.5)
Подставив
в правую часть равенства выражение из
формулы (7.4) и принимая во внимание
определение
1)
Эти символы записывали в виде
предпочли
приведенную форму записи, посколы
вается с условным обозначением сулТмы.
См 1869, 1, стр. 49.Глава I
Тензорный
анализ
29
получим:
Дифференцирование
равенства (6.3) дает
f^+e,i^
=
0. (7.7)
Применяя
правило дифференцирования определителя
и
используя определение gIJf,
найдем, что
(7-8>
последнее
выражение—следствие формулы (7.7).
Под-
ставляя в равенство (7.8) выражения
из (7.4) или (7.6),
найдем, что _
a
log
Vg
дх1
{,!}, (7.9)
где
в правой части предполагается суммирование
по і.
Символы
Кристоффеля первого и второго рода не
являются компонентами тензора, как это
видно из следующих соображений. Если
и
^/
— компоненты данного тензора в системах
координат х1
и х'* соответственно, то из равенства
(4.3) следует, что
/ ЙХ* /Н
|
^
—
дх^дх^
■ ■
Дифференцируя
это равенство по х'°, получим:
= дх3
.
дх'°
дхк
дх'а
дх'11
дх'~*
/
дх1 ,
дхі
а2х‘ ,7П.
+
&,\дх»дх'Ідхв
дх'ідхЧхвУ'
Поменяем
местами в этом равенстве всюду индексы
р и о, а в первом члене правой части
поменяем местам фиктивные индексы і
и к;
получим:
дйоч дхк
дх‘
дх-* ,
дх*
аТ7
дх“
дх*
,
Ґ
дх‘ д2х*
дх*
д2х
чах’3дх'^дх*
дх"* дх