1. Інформаційні технології та інформаційні системи

13. Аксіоми Армстронга

Функціональна залежність: RD1D2, d1D1, imRd1 –1 елемент.

Якщо реляція бінарна, то функціональна залежність має таке визначення: довільне значення першого атрибуту (його образ) складається з одного елементу.

Узагальнене поняття ФЗ на випадок n-арної реляції:

Нехай RD1...Dn, n2, R(AR), M1, M2 AR, тоді r1R[M1], r2R[M2] r1Rr2rR1, r1 = r[M1]  r2=r[M2].

R.M1R.M2 – означає, що атрибути списку М1 функціонально визначають список М2

R.M1R.M2 - взаємооднозначність.

Тепер реляції можна розглядати у вигляді (AR , f R), де AR - булеан всіх імен атрибутів, f R – структура функціональних залежностей.

Нехай R – система властивостей функціональних залежностей реляції.

Перша система аксіом (випливає з визначення ФЗ).

• R1.”Проективність”. М1, М2 – множини атрибутів деяких реляцій. М1  М2=> М1М2

• R2. Транзитивність. М1М2 & М2М3 => М1М3

• R3. Монотонність. М1М2 => (М1М3)(М2М3)

Будемо казати, що пара множин М1, М2 більша або рівна парі множин М3, М4, якщо

(М1, М2)  (М3, М4) <=> M1M3 & M2M4  MR.

Аксіоми Армстронга.

• Р1. Рефлексивність. М1М2

• Р2. Транзитивність (Р2 R3). М1М2 & М2М3 => М1М3

• Р3. М1М2 & (М1,М2)  (М3,М4) => М3М4

• Р4. Щось на зразок монотонності (псевдомонотонність). М1М2 & М3М4 => М1М2М2М4

Теорема: Р еквівалентна R.

1. Інформаційні технології та інформаційні системи

14. Третя нормальна форма та третя нормальна форма Бойса-Кодда

Реляційне числення Кодда є одним із найважливіших наріжних каменів теорії реляційних моделей баз даних.

Алфавіт.V1 = {a; r; P; }; V2 = {; ; ; ; }; V3 = {=; ; ; ; ; }; V4 = {[; ]; (; ); ,; :}; V = V1 V2 V3  V4;

Індекси – це слова виду ... (m - штук), m = 0,1,2,...

Константи – слова виду а... (m - штук), m = 0,1,2,...; позначення - am; a=a0;

Змінні – слова виду r... (m - штук), m = 0,1,2,...; позначення - rm;

Предикати (унарні) – слова виду P... (m - штук), m = 0,1,2,...; позначення - Pm;

Зрізи – слова виду r...[...] (i та m - штук), і,m = 0,1,2,...; позначення – ri[m];

Терми значень – слова виду Pi rj;

Терми з’єднань – слова виду   , або   , де ,  -- зрізи,  - константа,  - бінарний предикат (порівняння).

Всі терми значень і терми з’єднань є ППФ (Правильно побудовані формули). Всі їх змінні – вільні. Якщо F – ППФ, то F – ППФ. Якщо F1 і F2 – ППФ і їх спільні змінні вільні у кожній з формул, то F1  F2, F1  F2 – ППФ. Змінні вільні у F1  F2, F1  F2, якщо вони вільні принаймні у одній формулі.Якщо F – ППФ і r – вільна у ній змінна, то r(F), r(F) – ППФ; r – зв’язана змінна. Інших ППФ немає.

Реляція знаходиться в 3 НФП, якщо вона в 2 НФП і не має транзитивної залежності атрибутів відносно кожного квазіключа.

Приклад:

А₅ А₄ А₃

А₁ – шифр міністерства,

А₂ – шифр головного управління,

А₃ – шифр області,

А₆ А₂ А₄ – шифр району,

А₆ – шифр підприємства,

А₇ – шифр галузі.

А₁

{ А₅А₆А₁}

{ А₅А₂А₁} А₅ є ключем ієрархічної структури.

{ А₅А₄А₃}

Є транзитивна залежність А₅А₃.

Розглянемо варіант { А₅А₆А₂}, який є транзитивно залежним.

А₅А₂

А₅А₆

А в { А₅,А₆,А₂} нема транзитивної залежності, оскільки А₆А₂. Такі структури в логічному проектуванні називаються трикутником (кілька взаємозвязаних вершин).

В даному випадку існують 2 транзитивної залежності  ця реляція не знаходиться в 3 НФ.

Нормальна форма Бойса — Кодда (або НФБК, або БКННФ, або 3.5НФ) — нормальна форма використовна в нормалізації баз даних. Це трошки сильніша версія третьої нормальної форми (3НФ). Таблиця знаходиться в НФБК тоді і тільки тоді, коли для кожної її нетривіальної функціональної залежності X → Y, X це суперключ — тобто, X або потенційний ключ, або його надмножина.