Пропозициональный вывод
Существует другое определение следования, которое выглядит совершенно отличающимся от данного выше, но в действительности эквивалентное ему. В соответствие с этим определением, влечёт F, если F может быть выведено из с использованием определенного набора ``правил вывода''. Первое определение, основанное на интерпретации, – ``семантическое'', второе, основанное на понятии вывода – ``синтаксическое'' или ``дедуктивное''.
О корректности, полноте и разрешимости
Выводы в логике высказываний – наш основной объект изучения до конца данной части.
Вывод строятся из конструкций, которые называются ``секвенциями''.
Определение 15 (Секвенция). Секвенция – это выражение вида |– F (``F при посылках '') или |– (``посылки противоречивы''), где F – формула и – конечное множество формул. *
Мы определим, какие секвенции рассматриваются ``начальными'', и опишем несколько ``правил вывода'' для порождения новых секвенций из секвенций, порождённых ранее. Начальные секвенции называются аксиомами.
Определение 16 (Аксиомы). Аксиомы в исчислении высказываний имеют вид
{ F } |– F.
Мы определим 12 правил вывода, и удобно вводить их постепенно.
Предполагая, что это уже сделано, определим понятие вывода. Выводы у нас будут представляться в виде деревьев доказательства.
Определение 17 (Дерево доказательства). Дерево доказательства определим рекурсивно:
Деревом доказательства является пустое дерево доказательства, состоящее только из корня – аксиомы.
Пусть T1, ..., Tk – деревья доказательства с корнями R1, ..., Rk. Тогда
T1 ... Tk
(где – некоторая секвенция) – дерево доказательства, если может быть получена из R1, ..., Rk с помощью одного из правил вывода. Корнем такого дерева является .
Определение 18 (Доказуемая секвенция). Если существует дерево доказательства с корнем R, то R называют доказуемой секвенцией. Если этот корень имеет вид |– F, то говорят о выводе формулы F из .
В соответствие с дедуктивным определением следования говорят, что F следует из , если существует вывод F из подмножества .
Правила для конъюнкции и импликации
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
В каждом из этих пяти правил вывода, одно или два выражения над горизонтальной чертой представляют ``посылки'', к которым правило может быть применено, и выражение под чертой представляет ``заключение'' которое выводится по этому правилу. Правила В& и В – ``правила введения'' конъюнкции и импликации; У& и У – ``правила удаления''. Подставляя конкретные формулы вместо метапеременных F иG и конкретные конечные множества формул вместо метапеременной некоторое правило вывода, мы получаем пример этого правила. Например,
{q, r} |– p {p q, r} |– ¬q |
{q, r, p q} |– p & ¬q |
есть пример правила введения конъюнкции.
Пример простого вывода. . Выведем формулу q из посылки p & q. Этот вывод получается за один шаг с помощью второго правила удаления конъюнкции.
|
{q} |– q |
(У&) |
|
|
{p & q} |– q |
2.26 Найдите вывод q & p из p & q.
см. Решение
В двух следующих задачах выведите данную формулу из пустого множества посылок.
2.27 (p & p) p.
2.28 (p & p) p.