2. Безперервні випадкові величини

Безперервною називають випадкову величину, яка може набувати усіх значень з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

В теорії надійності як безперервні випадкові величини розглядаються час роботи об′єкта до відмови, час відновлення працездатного стану.

Функцією розподілення (інтегральною функцією) називають функцію , що визначає імовірність того, що випадкова величина X в результаті випробування набуде значення, меншого за х, тобто

. (3.4)

Значення функції розподілення належать відрізку [0, 1]:

. (3.5)

Щільністю розподілення імовірностей (диференціальною функцією) безперервної випадкової величини Х називають першу похідну від функції розподілення :

. (3.6)

Для опису розподілу імовірностей дискретної випадкової величини щільність розподілення непридатна.

Щільність розподілення безперервних випадкових величин називають також законом розподілення безперервної випадкової величини.

В теорії надійності набули поширення наступні закони розподілення безперервних випадкових величин:

- нормальний закон;

- експоненціальний закон;

- гамма-розподілення;

- закон Вейбулла.

2.1 Нормальний закон. Нормальним називають розподілення імовірностей безперервної випадкової величини, яке описується щільністю:

, (3.7)

де - математичне очікування; - середнє квадратичне відхилення нормального розподілу (стандартне відхилення).

Дисперсія нормального розподілення дорівнює квадрату стандартного відхилення:

. (3.8)

Нормальне розподілення випадкової величини X виникає кожного разу, коли X залежить від великого числа однорідних за своїм впливом випадкових чинників, причому вплив кожного з цих чинників в порівнянні з сукупністю всіх інших незначний. Ця умова характерна для часу виникнення відмови, що викликана старінням, тобто цей закон використовується для оцінки надійності виробів за наявності поступових (зносових) відмов.

Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами а=0, =1. Нормована випадкова величина визначається співвідношенням:

. (3.9)

Щільність нормованого розподілу:

. (3.10)

Значення цієї функції табульовані.

Імовірність потрапляння нормованої нормальної величини Х в інтервал (0, х) визначається з використанням формули Лапласа :

. (3.11)

Значення функції Лапласа також табульовані.

При математичному очікуванні напрацювання на відмову та стандартному відхиленні імовірність безвідмовної роботи об'єкту складає:

. (3.12)

2.2 Експоненціальний закон. Експоненціальним називають розподіл імовірності безперервної випадкової величини Х, яке описується щільністю:

(3.13)

де - стала додатна величина, зокрема - інтенсивність відмов.

Якщо в якості випадкової величини приймається час безвідмовної роботи об'єкту , то імовірність безвідмовної роботи становить:

. (3.14)

Експоненціальне розподілення напрацювання до відмови та напрацювання між відмовами є типовим для складних об'єктів, що складаються з великої кількості комплектуючих елементів з незначною інтенсивністю відмов, а також для періода нормальної експлуатації практично всіх технічних виробів, якщо інтенсивність відмов можна вважати сталою.

Характеристична властивість експоненціального закону надійності: імовірність безвідмовної роботи елементу на інтервалі часу тривалістю t не залежить від часу попередньої роботи до початку даного інтервалу, а залежить тільки від тривалості часу t (при заданій інтенсивності відмов ).

2.3 Гамма-розподілення. Гамма-розподілення є двопараметричним розподіленням. Щільність імовірності гамма-розподілення визначається виразом:

(3.15)

де , ,

. (3.16)

Математичне очікування та дисперсія відповідно дорівнюють:

; . (3.17)

Гамма-розподілення широко застосовують при описанні появи відмов старіючих елементів, часу відновлення, напрацювання на відмову резервованих систем.

При інтенсивність відмов монотонно знижується (що відповідає періоду прироблення виробу), при - зростає (що характерно для періоду зношування та старіння елементів).

При гамма-розподілення співпадає з експоненціальним розподіленням, при гамма-розподілення наближається до нормального закону.

2.4 Закон Вейбулла. Цей закон задовільно описує напрацювання до відмови підшипників, елементів радіоелектронної апаратури. Його використовують для оцінки надійності деталей вузлів машин, зокрема - автомобілів, а також для оцінки надійності машин в процесі їх прироблення.

Щільність розподілення описується залежністю:

, (3.18)

де - параметр форми кривої розподілення.

Імовірність безвідмовної роботи :

. (3.19)

Широке застосування закону Вейбулла пояснюється тим, що цей закон, узагальнюючи експоненціальне розподілення, містить додатковий параметр . Підбираючи потрібним чином параметри та , можна отримати кращу відповідність розрахункових значень експериментальним даним в порівнянні з експоненціальним законом.

Вибір закону розподілення відмов при розрахунку надійності. Для вибору виду теоретичного розподілу напрацювання до відмови (між відмовами) доцільно використовувати відомості про зміни параметра, що характеризує працездатність виробу перед виникненням відмови. Для цього необхідно знати, в результаті яких процесів з'являються відповідні розподілення, тобто обраному теоретичному розподіленню напрацювань до відмови має відповідати певна модель наближення виробу до відмови.

Вибір теоретичного розподілення за отриманими статистичними даними здійснюється в наступній послідовності:

- за статистичними даними будується гістограма;

- по зовнішньому виду гістограми та закономірностям виникнення відмов висувається гіпотеза стосовно закону розподілення;

- визначаються параметри закону розподілення за статистичними даним;

- за допомогою критеріїв Пірсона або Колмогорова оцінюється адекватність прийнятого закону розподілення статистичним даним.

ЛЕКЦІЯ №4

УМОВИ ЕКСПЛУАТАЦІЇ ТА ЇХ ВПЛИВ НА НАДІЙНІСТЬ

АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ

ТЕХНОЛОГІЧНИМИ ПРОЦЕСАМИ

Надійність автоматизованої системи управління (АСУ) - властивість системи зберігати в часі у встановлених межах значення всіх параметрів, що характеризують здатність системи виконувати необхідні функції в заданих режимах та умовах експлуатації. Надійність АСУ включає властивості безвідмовності, ремонтопридатності, а, в деяких випадках, і довговічності.

Елемент АСУ - окрема, відносно самостійна частина системи, що бере участь у реалізації однієї або декількох функцій АСУ і розглядається при вирішенні задач надійності як неподільна на складові частини.

Функціональна підсистема АСУ (ФП АСУ) - підсистема АСУ, що виділена за функціональною ознакою і являє собою сукупність елементів АСУ (технічних, програмних, ергатичних), що беруть участь у виконанні деякої функції системи (ergates - дійова особа, діяч, тобто ергатичним елементом називають людину або групу людей).

Відмова АСУ у виконанні функції (відмова функції АСУ) - подія, що полягає в порушенні хоч б однієї з вимог до якості виконання даної функції, що встановлені в нормативно-техническій та конструкторській документації на систему.

Критерій відмови функції АСУ - ознака або сукупність ознак, що встановлені в нормативно-техничній та конструкторській документації і дозволяють визначити наявність відмови у виконанні деякої функції АСУ.

Аварійна ситуація в АСУ - деякий винятковий стан системи, що є певним поєднанням відмов та помилок функціонування її елементів (технічних, програмних, ергатичних), який здатен привести до порушень функціонування об'єкту управління (або системи в цілому) та особливо значних технічних, економічних або соціальних втрат.

Для забезпечення надійної роботи елементів АСУ ТП необхідно якомога повніше враховувати очікувану дію умов експлуатації.

Умови експлуатації - сукупність зовнішніх чинників, що впливають на працездатність електронних пристроїв і систем автоматики.

АСУ, а також їх окремі елементи при експлуатації перебувають під впливом різних факторів, які називаються навантаженнями.

По фізичній природі навантаження діляться на наступні основні класи:

1) механічні навантаження - вібрації, удар, постійно діюче прискорення;

2) кліматичні навантаження - температура, вологість і волога, атмосферний тиск, сонячна радіація, пил, пісок;

3) електричні навантаження - струм, напруга, розсіювана потужність;

4) радіоактивні навантаження.

Механічні навантаження впливають на АСУ, що працюють на рухливих об'єктах: літальних апаратах, електровозах, кораблях та ін. Крім того, механічні навантаження виникають при транспортуванні, а також при експлуатації устаткування.

В результаті дії механічних навантажень відмови АСУ мають наступний характер:

1) зміщення ковзаючих деталей і вузлів, що обертаються;

2) обрив елементів;

3) руйнування пайок;

4) руйнування ниток розжарювання ламп;

5) стукіт контактів;

6) коротке замикання близько розташованих провідників і деталей;

7) розмикання нормально-замкнутих контактів;

8) замикання нормально-розімкнених контактів;

9) пошкодження обмоток трансформаторів;

10) руйнування елементів конструкції.

Кліматичні навантаження, що впливають на АСУ, залежать від географічного місця, в якому працює система, а також від умов роботи системи (стаціонарні, польові та ін.). В результаті дії кліматичних навантажень відмови АСУ мають наступний характер:

1) зміна значень електричних констант (R, L, С та ін.);

2) розм'якшення ізоляції;

3) зниження еластичності ізоляції;

4) зменшення поверхневого та об'ємного опорів ізоляції аж до коротких замикань внаслідок утворення льоду;

5) замерзання рухомих частин;

6) розмикання і замикання контактів внаслідок викривлення;

7) зміна міцності конструкційних елементів;

8) втрата мастильних властивостей, а отже надмірний механічний знос рухливих частин внаслідок попадання пилу та піску;

9) короткі замикання внаслідок погіршення ізоляційних характеристик повітря із зміною висоти.

Електричні навантаження зазвичай визначаються для елементів і рідше для вузлів. Величина електричного навантаження залежить від принципової електричної схеми та конструкції системи. Електричне навантаження визначає режим роботи елементу. Для більшості електричних елементів встановлюється номінальне значення електричного навантаження.

Характерні відмови АСУ внаслідок дії електричних навантажень наступні:

1) обрив елементів в результаті перегоряння;

2) коротке замикання елементів в результаті пробою.

Величина електричних навантажень значною мірою залежить від режиму роботи системи. У сталому режимі роботи фактичне значення навантаження близьке до розрахункового значення, яке є мешним від номінального значення, тому зазвичай коефіцієнт навантаження менше одиниці. У перехідних режимах величина навантаження може у декілька разів перевищувати розрахункове значення, тоді коефіцієнт навантаження перевищує одиницю. Ця обставина характерна для моментів часу ввімкнення та вимкнення автоматичної системи. В цьому випадку зазвичай з'являється більше число відмов, аніж при роботі в сталому режимі.

Радіоактивне навантаження має місце у разі застосування автоматичних систем в установках, що використовують термоядерні двигуни. Найбільший вплив на електронні системи чинять нейтрони і гамма-промені. При оцінці впливу термоядерного випромінювання на елементи АСУ в першу чергу визначається характер впливу радіації, а потім вже допустима доза радіації.

При класифікації навантажень не по їх фізичній природі, а по впливу на систему або її окремі елементи, виділяють три класи навантажень:

1) навантаження-напруги;

2) навантаження-каталізатори;

3) пасивні навантаження.

Навантаження-напруги пов'язані зі створенням в елементах або системі напруги. До них відносяться механічні навантаження (вібрації, удари, прискорення) та електричні навантаження (струм, напруга, розсіювана потужність). Навантаження-напруги викликають руйнування елементів системи у тому випадку, якщо вони перевищують допустимі значення.

Навантаження-каталізатори самі по собі практично не викликають напруги в елементі або системі і, отже, без навантажень-напруг вони не призводять до відмов. Проте навантаження-каталізатори змінюють міцність матеріалів або погіршують фізичні, хімічні та електричні параметри. До цієї групи навантажень відносяться кліматичні навантаження: температура, вологість, атмосферний тиск, сонячна радіація. Наприклад, підвищення температури змінює міцність матеріалів на розрив, вологість змінює електричну міцність ізоляційних матеріалів і т.і. До кліматичних навантажень можна іноді віднести й накопичений час роботи системи або число циклів роботи системи. Це може бути зроблено в тих випадках, коли час роботи змінює характеристики міцності елементів або системи в цілому.

До пасивних навантажень слід віднести такі умови роботи системи і елементів, які самі по собі не викликають напружень в елементах системи і не змінюють її здатності протистояти навантаженню. Наприклад, дія пилу, піску, біологічних чинників. Ці навантаження визначають вибір відповідних матеріалів і конструктивних форм елементів та систем.

Здебільшого навантаження є випадковими функціями часу, тобто являють собою випадковий процес. У найпростіших випадках можна не враховувати кореляційних зв'язків між різними типами навантажень, тобто вважати навантаження статистично незалежними. Якщо зміна навантажень в часі є стаціонарним випадковим процесом, допускається в якості кількісних характеристик навантажень використовувати розподіли навантажень як випадкових величин.