Лекція №3 закони розподілення вімов, що використовуються в теорії надійності

Згадаємо базові поняття теорії імовірностей.

Випадкова подія - подія, яка при виконанні певних умов може статися або не статися.

Випадкова величина - величина, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед не відоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. Випадкові величини позначаються великими літерами (X, Y, Z), а можливі значення - малими (x, y, z).

В теорії надійності відмови різних об'єктів є випадковими подіями, а час роботи до відмови або число відмов за певний час - випадковими величинами.

Випадкові величини бувають дискретними і безперервними.

1. Дискретні випадкові величини

Дискретною називають випадкові величину, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з визначеними ймовірностями. Кількість можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями та їх імовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно.

При табличному задаванні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий - їх імовірності:

			…
			…

При цьому .

У теорії надійності набули поширення наступні закони розподілу дискретних випадкових величин :

- біномний закон;

- закон Пуассона.

1.1. Біномний закон. Припустимо, що виконується n випробувань, в кожному з яких імовірність настання події А складає р та не залежить від результату інших випробувань (незалежні випробування). Оскільки імовірність настання події А в одному випробуванні дорівнює р, то імовірність його ненастання становить .

Імовірність того, що протягом n випробувань подія А настане разів ( ), визначається згідно формулі Бернуллі та становить:

, (3.1)

де - число поєднань з n елементів по елементах.

Властивості біномного розподілу :

1) число подій m - ціле додатне число;

2) математичне очікування числа подій дорівнює ;

3) стандартне відхилення числа подій становить ;

1.2 Закон Пуассона. Імовірність виникнення відмови m разів за час складає:

, (3.2)

де - інтенсивність випадкової події.

Основна властивість розподілення Пуассона - тотожність математичного очікування і дисперсії числа відмов за час :

. (3.3)

Ця властивість використовується для перевірки міри відповідності досліджуваного (емпіричного) розподілення з розподіленням Пуассона.

Розподілення Пуассона можна отримати з біноміального розподілення, якщо число випробувань n необмежено зростає, а математичне очікування числа подій лишається сталим.

Закон Пуассона використовується за необхідності визначення імовірності того, що у об′єкті за заданий час станеться певне число відмов.