Общее решение уравнения (4.3) получает вид

. (4.7)

Если же решению однородного уравнения придать вид (4.6), то общее решение уравнения (4.3) примет вид

. (4.8)

Уравнение (4.8) показывает, что точка М совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член правой части уравнения (4.8) определяет свободные колебания, а второй — вынужденные колебания точки.

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки.

Постоянные интегрирования C₁ и С₂ в уравнении (4.7) или постоянные А и β и уравнении (4.8) определяются по начальным условиям движения.

Последний член правой части уравнения (4.7) и (4.8), определяющий вынужденные колебания точки, не содержит постоянных интегрирования, следовательно, вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения точки.

Исследуем вынужденные колебания точки. Эти колебания определяются уравнением (4.6):

.

Частота р и период τ=2π/р вынужденных колебаний совпадают с частотой и периодом изменения возмущающей силы.

Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний точки, называют вынужденными колебаниями малой частоты.

Вынужденные колебания, частота р которых больше частоты k свободных колебаний, называют вынужденными колебаниями большой частоты.

Фаза вынужденных колебаний. Уравнение вынужденных колебаний малой частоты (при р < k) имеет вид (4.6):

.

В этом случае фаза колебаний (pt+δ) совпадает с фазой возмущающей силы и амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой (4.5):

.

В случае вынужденных колебаний большой частоты (при р > k) уравнению (6) придают такой вид, чтобы коэффициент при синусе был положительным:

. (4.9)

В этом случае амплитуда вынужденных колебаний

. (4.10)

Фаза вынужденных колебаний большой частоты (pt+δ-π) отличается от фазы возмущающей силы (рt+δ) на величину π, т. е. фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы противоположны.

Таким образом, в случае вынужденных колебаний малой частоты точка М всегда отклонена от начала координат О в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила .

В случае вынужденных колебаний большой частоты отклонение точки М от начала координат О всегда противоположно направлению возмущающей силы в данный момент. При этом в обоих случаях максимальное отклонение точки от начала координат происходит в момент времени, когда модуль возмущающей силы достигает максимума.

Амплитуда вынужденных колебаний. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний A_В от частоты р возмущающей силы. Для этого введем статическое отклонение А_о точки М от начала координат О под действием постоянной силы Н (рис. 4.3).

Величина A_о определяется из условия равновесия сил и :

Рис. 4.3

,

откуда

.

Отношение η амплитуды вынужденных колебаний A_В к величине А_о называется коэффициентом динамичности:

при р < k

(4.11)

при р > k

(4.12)

Изменение амплитуды вынужденных колебаний A_В в зависимости от изменения частоты возмущающей силы р характеризуется графиком коэффициента динамичности (рис. 4). На горизонтальной оси этого графика отложены значения отношения р/k, а на вертикальной оси — соответствующие значения η=А_B/А_o, определенные по формуле (11) при р<k и по формуле (4.12) при p>k.

Рис. 4.4

График показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от р = 0 до р = k коэффициент динамичности растет от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении р до бесконечности коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля. При р= k коэффициент динамичности равен бесконечности. Этот случай вынужденных колебаний, называемый явлением резонанса, рассмотрен ранее.

Закончив исследование уравнения (4.6), определяющего вынужденные колебания точки, рассмотрим уравнение (4.7), которое определяет результирующее движение точки под действием возмущающей и восстанавливающей сил:

.

Продифференцируем это уравнение по t:

.

Определим значения постоянных С₁ и С₂, подставив в два последних уравнения начальные условия движения точки t_o= 0, x_o, _o:

откуда

.

Подставим эти значения C₁ и С₂ в уравнение (4.7):

. (4.13)

Согласно уравнению (4.13), движение точки М можно рассматривать как результат сложения трех ее движений:

1). свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, отклонении точки из положения покоя на расстояние х_о и сообщении ей начальной скорости v_o, проекция которой на ось х равна :

;

2) колебаний, имеющих тоже частоту k, но вызванных действием на точку возмущающей силы:

3) вынужденных колебаний точки, частота которых равна частоте возмущающей силы р:

.