Примеры решения задач.
Пример
1. Найти
методом моментов по выборке
,
,
…,
точечную оценку неизвестного параметра
показательного распределения, плотность
распределения которого
(x
0).
Решение. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: .
Учитывая, что = ,
получим ,
Приняв во внимание, что математическое ожидание показательного распределения равно 1/ , имеем
1/ = .
Отсюда
.
Итак, искомая точечная оценка параметра показательного распределения равна величине, обратной выборочной средней:
.
Пример
2. Найти
методом моментов по выборке
,
,
…,
точечные оценки неизвестных параметров
а и
нормального распределения
.
Решение. Приравняем начальные теоретические и эмпирические моменты первого порядка, а так же центральные и эмпирические моменты второго порядка:
, = .
Учитывая, что = , = , = , получим
,
= .
Приняв во внимание,
что математическое ожидание нормального
распределения равно параметру а,
дисперсия равна
имеем:
а =
,
=
.
Итак, искомые точечные оценки параметров нормального распределения:
=
,
=
.
Практическая часть. Задача 1.
Условие: Даны экспериментальные данные, записанные в виде статистического ряда.
Требуется: 1) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
2) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов;
3) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
4) Найти числовые характеристики выборки.
76 |
28 |
151 |
91 |
60 |
204 |
177 |
102 |
128 |
217 |
120 |
66 |
207 |
126 |
124 |
152 |
27 |
221 |
131 |
51 |
241 |
77 |
250 |
134 |
123 |
147 |
184 |
195 |
47 |
160 |
159 |
74 |
169 |
178 |
79 |
129 |
250 |
223 |
182 |
96 |
135 |
199 |
56 |
25 |
82 |
116 |
44 |
229 |
145 |
203 |
88 |
209 |
146 |
224 |
239 |
103 |
201 |
245 |
130 |
163 |
71 |
165 |
176 |
194 |
78 |
154 |
99 |
78 |
127 |
69 |
171 |
173 |
31 |
181 |
117 |
84 |
73 |
161 |
240 |
149 |
247 |
107 |
140 |
53 |
205 |
155 |
29 |
132 |
185 |
179 |
180 |
128 |
42 |
114 |
93 |
191 |
174 |
210 |
133 |
226 |
Решение:
а) запишем значения результата эксперимента в вариационный ряд, таблица 1:
25 |
27 |
28 |
29 |
31 |
42 |
44 |
47 |
51 |
53 |
56 |
60 |
66 |
69 |
71 |
73 |
74 |
76 |
77 |
78 |
78 |
79 |
82 |
84 |
88 |
91 |
93 |
96 |
99 |
102 |
103 |
107 |
114 |
116 |
117 |
120 |
123 |
124 |
126 |
127 |
128 |
128 |
129 |
130 |
131 |
132 |
133 |
134 |
135 |
140 |
145 |
146 |
147 |
149 |
151 |
152 |
154 |
155 |
159 |
160 |
161 |
163 |
165 |
169 |
171 |
173 |
174 |
176 |
177 |
178 |
179 |
180 |
181 |
182 |
184 |
185 |
191 |
194 |
195 |
199 |
201 |
203 |
204 |
205 |
207 |
209 |
210 |
217 |
221 |
223 |
224 |
226 |
229 |
239 |
240 |
241 |
245 |
247 |
250 |
250 |
б) находим размах варьирования:
R
=
-
= 250 – 25 = 225
Находим длину интервала:
h
=
=
= 25
Составим таблицу 2:
Номер интервала |
Граница интервала |
Середина интервала
|
Частота |
Относительная
частота
|
Плотность
относительной частоты
|
1 |
[25;50) |
37,5 |
8 |
0,08 |
0,0032 |
2 |
[50;75) |
62,5 |
9 |
0,09 |
0,0036 |
3 |
[75;100) |
87,5 |
12 |
0,12 |
0,0048 |
4 |
[100;125) |
112,5 |
9 |
0,09 |
0,0036 |
5 |
[125;150) |
137,5 |
16 |
0,16 |
0,0064 |
6 |
[150;175) |
162,5 |
13 |
0,13 |
0,0052 |
7 |
[175;200) |
187,5 |
13 |
0,13 |
0,0052 |
8 |
[200;225) |
212,5 |
11 |
0,11 |
0,0044 |
9 |
[225;250] |
237,5 |
9 |
0,09 |
0,0036 |
=
в) строим полигон частот
Строим гистограмму относительных частот:
Строим эмпирическую функцию распределения:
Строим график:
г) найдем числовые характеристики выборки:
=
=
=
= 141,5
=
-
=
-
=
-
= 2359,75 – 20022,25 = 3571,5
=
= 59,762
д) по критерию Пуассона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты.
Найдем
теоретические частоты, для этого перейдем
к случайной величине
.
Вычислим
концы интервалов:
=
;
=
,
получаем,
что
,
.
Если
,
то интервалы объединяем.
Составим таблицу 3:
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
25 |
50 |
8 |
- |
-91,5 |
- |
-1,531 |
2 |
50 |
75 |
9 |
-91,5 |
-66,5 |
-1,531 |
-1,113 |
3 |
75 |
100 |
12 |
-66,5 |
-41,5 |
-1,113 |
-0,694 |
4 |
100 |
125 |
9 |
-41,5 |
-16,5 |
-0,694 |
-0,276 |
5 |
125 |
150 |
16 |
-16,5 |
8,5 |
-0,276 |
0,142 |
6 |
150 |
175 |
13 |
8,5 |
33,5 |
0,142 |
0,561 |
7 |
175 |
200 |
13 |
33,5 |
58,5 |
0,561 |
0,979 |
8 |
200 |
225 |
11 |
58,5 |
83,5 |
0,979 |
1,397 |
9 |
225 |
250 |
9 |
83,5 |
- |
1,397 |
- |
Далее составляем расчетную таблицу 4, где находим теоретические частоты:
i |
|
|
Ф( ) |
Ф( ) |
|
|
1 |
- |
-1,531 |
-0,5 |
-0,4370 |
0,063 |
6,3 |
2 |
-1,531 |
-1,113 |
-0,4370 |
-0,3665 |
0,0705 |
7,05 |
3 |
-1,113 |
-0,694 |
-0,3665 |
-0,2549 |
0,1116 |
11,16 |
4 |
-0,694 |
-0,276 |
-0,2549 |
-0,1103 |
0,1446 |
14,46 |
5 |
-0,276 |
0,142 |
-0,1103 |
0,0557 |
0,166 |
16,6 |
6 |
0,142 |
0,561 |
0,0557 |
0,2123 |
0,1566 |
15,66 |
7 |
0,561 |
0,979 |
0,2123 |
0,3365 |
0,1242 |
12,42 |
8 |
0,979 |
1,397 |
0,3365 |
0,4192 |
0,0827 |
8,27 |
9 |
1,397 |
- |
0,4192 |
0,5 |
0,0808 |
8,08 |
=Ф(
)-Ф(
)
=
n=100
Составляем таблицу 5:
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
6,3 |
1,7 |
2,89 |
0,4587 |
64 |
10,1587 |
2 |
9 |
7,05 |
1,95 |
3,8025 |
0,5394 |
81 |
11,4894 |
3 |
12 |
11,16 |
0,84 |
0,7056 |
0,0632 |
144 |
12,9032 |
4 |
9 |
14,46 |
-5,46 |
29,8116 |
2,0617 |
81 |
5,6017 |
5 |
16 |
16,6 |
-0,6 |
0,36 |
0,0217 |
256 |
15,4217 |
6 |
13 |
15,66 |
-2,66 |
7,0756 |
0,4518 |
169 |
10,7918 |
7 |
13 |
12,42 |
0,58 |
0,3364 |
0,0271 |
169 |
13,6071 |
8 |
11 |
8,27 |
2,73 |
7,4529 |
0,9012 |
121 |
14,6312 |
9 |
9 |
8,08 |
0,92 |
0,8464 |
0,1048 |
81 |
10,0248 |
= 4,6296
= 104,6296
По
таблице критических точек распределения
находим
:
K
= 9 – 3 = 6 ,
= 14,4.
Т.к.
,
то гипотеза о нормальном распределении
совокупности принимается.
е) Для оценки математического ожидания используем формулу:
-
+
=
0,95 , t=1,96 ,
=10
= 141,5 , = 3571,5
=
=
3571,5
= 3607,58
S = 60,063
=
= 11,77
(141,5 –
11,77; 141,5 + 11,77)
(129,73; 153,27)
S(1-q)
S(1+q)
n = 100, = 0,95
q = 0,143
23,31 31,09