Завдання 6.19

Необхідно:

– визначити розмах варіації і коефіцієнт осциляції; середнє лінійне відхилення і лінійний коефіцієнт варіації.

Дані для виконання:

Вік робітників однієї бригади будівельників становить 28, 30, 31, 46, 47, 48, 50 років.

Розв’язок. Розмах варіації – це різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки, тобто

R = x_max – x_min = 50 – 28 = 22.

Відношення розмаху варіації до середньої величини ознаки називають коефіцієнтом осциляції, який обчислюють за формулою

.

Оскільки дані незгруповані, середню величину обчислюють за формулою середньої арифметичної простої

,

тоді

.

Середнє лінійне відхилення – це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини

d =

Лінійний коефіцієнт варіації визначають за формулою

,

що свідчить про незначну варіацію робітників бригади будівельників щодо їх віку.

Завдання 6.20

Необхідно:

– за даними розподілу вантажних автомобілів одного підприємства за строком експлуатації (таблиця 6.16) обчислити: дисперсію строку експлуатації вантажних автомобілів; середнє квадратичне відхилення і квадратичний коефіцієнт варіації; дисперсію частки вантажних автомобілів зі строком експлуатації менше як 8 років.

Дані для виконання:

Таблиця 6.16. Розрахункова таблиця для обчислення показників варіації

Строк перебування вантажних автомобілів в експлуатації, років	Кількість автомо-білів	Середина інтервалу, х	xf	_ x – x	_ (x – x)2	_ (x – x)2f	x2	x2 f
До 4	6	2	12	-7	49	294	4	24
4 – 6	10	5	50	-4	16	160	25	250
6 – 8	70	7	490	-2	4	280	49	3430
8 – 10	47	9	423	0	0	0	81	3807
10 –12	35	11	385	2	4	140	121	4235
12 –14	20	13	260	4	16	320	169	3380
14 і більше	12	15	180	6	36	432	225	2700
Разом	200	-	1800	-	-	1626	-	17826

Розв’язок. Дисперсія – це середній квадрат відхилень від середньої:

 .

В рядах розподілу середню обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої

;

 .

Дисперсію можна визначити також за формулою різниці квадратів

 ,

де – середній квадрат значень варіант.

Необхідні для обчислення дані наведені в таблиці.

Отже,



Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії

 = √ = .

Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої називають квадратичним коефіцієнтом варіації. Його обчислюють за формулою

U = ( / )100% = ,

що свідчить про однорідність сукупності автомобілів щодо строку перебування їх в експлуатації.

Частка автомобілів, у яких строк перебування в експлуатації менш як 8 років становить

v = .

Дисперсію частки як альтернативної ознаки визначають за формулою

²=p (1 – p), тобто ²=0,43 (1 – 0,43) = 0,245.

Ряди динаміки

Розв’язок типових завдань

Завдання 9.9

Необхідно:

• за даними таблиці 9.7 визначити: 1) базові і ланцюгові характеристики динаміки: абсолютні прирости, темпи зростання і приросту, абсолютні значення 1% приросту; 2) середньорічні темпи зростання і абсолютні прирости за 1985 – 1990 та 1991 – 1995 рр.

Дані для виконання:

Таблиця 9.7. Динаміка виробництва промислових роботів в об’єднанні

Рік	1985	1990	1995
Кількість, шт.	60	114	126

Розв’язок. Абсолютний приріст _t показує, на скільки одиниць власного виміру рівень ряду yt більший (+) чи менший (–) за рівень, взятий за базу порівняння (yt-1 чи y0):

ланцюговий _t = yt – yt-1,

базовий t = yt – y0.

Так, за 1985 – 1990 рр. виробництво промислових роботів зросло на 54 шт. (114 – 60), за 1990 – 1995 рр. – на 12 шт. (126 – 114). За весь період абсолютний приріст становив 66 шт. (126 – 60).

Темп зростання показує, в скільки разів один рівень ряду більший за інший:

ланцюговий t_t = ,

базовий .

За 1985 – 1990 рр. виробництво роботів збільшилось в 1,9 рази (114 : 60), за 1990 – 1995 рр. – в 1,1 рази (126 : 114). Базовий темп зростання за весь період становив 2,1 рази (126 : 60).

Темп приросту показує, на скільки процентів значення yt більше (+) чи менше (–) за рівень, який прийнятий за 100%:

У нашому прикладі темпи приросту становлять: ланцюгові 190 – 100 = 90%, 110 – 100 = 10%; базовий – 210 – 100 = 110%.

Абсолютне значення 1% приросту можна обчислити як частку відділення абсолютного приросту на темп приросту: ; 54 : 90 = 0,60; 66 : 110 = 0,60, тобто вага відносно приросту є не що інше, як сота частина рівня, взятого за базу порівняння.

Середньорічний абсолютний приріст – це середнє з ланцюгових абсолютних приростів: , де у_п – кінцевий рівень ряду. За 1985 – 1990 роки = 54 : 5 = 10,8; за 1990 – 1995 роки = 12 : 5 = 2,4.

Середньорічний темп зростання визначають за формулою середньої геометричної

.

У нашому прикладі за 1985 – 1990 рр.

;

за 1990 – 1995 рр.

.

Середньорічний приріст виробництва промислових роботів за 1985 – 1990 роки становив 17,4%, за 1990 – 1995 роки – 2,5%.

Прискорення (сповільнення) зростання обчислюють зіставленням однойменних характеристик швидкості зростання. Наприклад, абсолютних приростів: t = i – i-1 = 2,4 – 10,8 = –8,4.

Значення t  0 свідчить про сповільнення зростання. Темп сповільнення абсолютної швидкості обчислюють відношенням абсолютних приростів

t = 2,4 : 10,8 = 0,222.

Прискорення (сповільнення) відносної швидкості є частка від ділення середньорічних темпів зростання. Дільником виступає більший за значенням. У нашому прикладі t = 1,137 : 1,024 = 1,111.

Вибірковий метод

розв’язок типових завдань

Завдання 8.14

Необхідно:

– за даними таблиці 8.8 визначити: 1) середню міцність ниток та граничну помилку вибірки для середньої з імовірністю 0,954; 2) частку ниток, міцність яких більша за 90 г, та граничну помилку для частки з імовірністю 0,954.

Дані для виконання:

дало такі результати.

Таблиця 8.8. Дані вибіркове випадкового обстеження 20 проб пряжі на міцність

Міцність ниток, г	до 50	50 – 70	70 – 90	90 і більше	Разом
Число проб	7	8	3	2	20

Розв’язок. 1. Граничну помилку вибірки для середньої обчислюють за формулою

 ,

де n – обсяг вибіркової сукупності; – дисперсія ознаки x; t – коефіцієнт довіри (для імовірності 0,954 цей коефіцієнт становить 2).

Розрахунок середньої міцності ниток і дисперсії цього показника показано в таблиці 8.9.

Таблиця 8.9. Розрахунок середньої міцності ниток і дисперсії

Значення варіанта х (середина інтервалу)	Частота f	xf	_ x – x	_ 2 (x – x) f
40	7	280	-20	2800
60	8	480	0	0
80	3	240	+20	1200
100	2	200	+40	3200
Разом	20	1200	-	7200

За розрахунками, . Помилка вибірки середньої з імовірністю 0,954 становить

 = 8,5 г.

2. Частка ниток, міцність яких більша за 90 г, становить 10% (р = 2 : 20 = 0,1), а дисперсія Гранична помилка вибірки для частки з імовірністю 0,954 дорівнює 13,4%, тобто 