5. Оценка пропускной способности сети между парой пунктов

Потоком P из некоторой вершины s называемой источником в некоторую вершину t называемую стоком в сети является множество неотрицательных чисел x_ij (потоков дуг) если эти числа удовлетворяют следующим ограничениям

-P_st, если j=s (источник)

∑ x_ij - ∑ x_jr= 0, если j≠s,t

P_st, если j=t (сток)

Сечением сети называется не избыточная совокупность дуг (ребер), при изъятии которых из сети нарушается е связность.

Сечение, разделяющее сток и исток обладающее наименьшей пропускной способностью называется минимальным сечением.

Минимальное сечение, разделяющее источник и сток, является аналогом «узкого места» в любой сети, и, следовательно, величина максимального потока не может превысить его пропускной способности. Величина максимального потока всегда равна минимальной пропускной способности среди всех сечений разделяющих исток и сток.

Сеть, имеющая один источник, и один сток, называется двухполюсной. Сеть, в которой каждая пара вершин может рассматриваться как источник и сток, называется многополюсной. Если в сети имеется несколько источников и несколько стоков и поток может идти из любого источника в любой сток, то такой поток называется однопродуктовым. Если в сети с несколькими источниками и стоками поток должен идти из нескольких выделенных источников в некоторые фиксированные стоки, то такой поток называется многопродуктовым.

В многопродуктовой сети поток идет в фиксированные стоки, а многополюсной каждая пара вершин может рассматриваться как источник и сток.

Определить максимальную пропускную способность сети и каждого узла в частности для решения транспортных задач, например в информационных сетях связи.

Необходимо определить пропускную способность сети, между всеми узлами сети. Так как у нас 10 узлов, то количество комбинаций будет определяться как 2 в степени 10-ть, что соответствует 1024 комбинациям. Так как операция ручной обработки будет довольно длительная, для этих целей была написана программа, позволяющая решать данную задачу.

Исходными данными для решения будет являться матрица весов.

Алгоритм формируется следующим образом.

На первом шаге мы присваиваем истоку пометку 0, а стоку пометку 1. Полагаем значение сечения счетчика равным нулю.

На втором шаге образуем двоичное представление счетчика и сортируем вершины в соответствии с пометками. Определяем пропускную способность сечения для полученного варианта распределения вершин как сумму пропускных способностей дуг или ребер, составляющих рассматриваемое сечение.

Увеличиваем значение переменной счетчика на единицу на шаге номер три. Если значение счетчика достигло двойки в степени количество узлов минус 1, тогда переходим к шагу четыре, если нет, то переходим опять к шагу №2.

На шаге 4 среди полученных значений потоков выбираем наименьшее, и записываем в матрицу наименьших потоков.

В графическом представлении алгоритм имеет вид:

Где N – общее количество сечений.

Таблица 5.1 − Матрица максимальных потоков

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	88	97	29	224	192	97	185	66	97
2	88	0	88	29	88	88	88	88	66	88
3	97	88	0	29	97	97	97	97	66	97
4	29	29	29	0	29	29	29	29	29	29
5	224	88	97	29	0	192	97	185	66	97
6	192	88	97	29	192	0	97	185	66	97
7	97	88	97	29	97	97	0	97	66	97
8	185	88	97	29	185	185	97	0	66	97
9	66	66	66	29	66	66	66	66	0	66
10	97	88	97	29	97	97	97	97	66	0

Минимальная пропускная способность данной сети равна 41.