Модельное представление сети связи как объекта синтеза и анализа
Сеть связи (телекоммуникационная сеть) как объект синтеза и анализа представляет собой совокупность пунктов сети и соединяющих их линий. В качестве математической модели такого объекта используют граф.
Графом называется некоторая совокупность точек и связывающих их стрелок.
Точки графа называются вершинами, а стрелки — дугами. Граф математически обозначается как G(N, V), где N - конечное множество вершин мощностью n, а V — конечное множество дуг мощностью т.
Вершины можно обозначить строчными буквами (i, j, k, l, s) либо цифрами (1, 2, 3, 4, 5), а дуги соответственно парами: {(i,j), (j, к), (к, l) ... } либо {(1,2), (2,3), (3,4),... }, где первый индекс определяет начало, а второй — конец дуги.
Граф, в котором задается направление дуг, называется ориентированным, в противном случае — неориентированным. Неориентированные дуги называются ребрами.
Между двумя вершинами, соединенными дугой (ребром), существует отношение смежности (для ориентированного графа вершины і и j смежные, лишь, если дуга начинается в і и направлена в j),
Между вершиной и соединенными с ней дугами (ребрами) существует отношение инцидентности.
Граф, каждой дуге (ребру) которого поставлены в соответствие некоторые числовые характеристики, называемые весами, представляет собой взвешенный граф. При необходимости веса могут быть приписаны также вершинам графа.
Взвешенный граф принято называть сетью (в данном случае имеется в виду сетевая модель, а не сама сеть как объект). В качестве весовых характеристик сети могут выступать расстояния, пропускная способность, стоимость и т. д.
В данном комплексном задании у нас взвешенный неориентированный граф, представленный на рисунке 1.
Помимо геометрического изображения в виде точек и линий, граф может быть представлен в дискретной форме. Именно эта форма используется при вводе графовой модели в ЭВМ.
Рисунок 1 — Граф телекоммуникационной сети
Одним из наиболее распространенных дискретных представлений графа является матрица смежностей. Это матрица А =[аij], размером (пxп) элементов, которые могут принимать значения:
аij= 1, если в графе G существует дуга (ребро) между вершинами i и j,
аij = 0, — в противном случае.
Приведем матрицу смежностей нашего графа:
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
А=
Для хранения в памяти ЭВМ матрицы смежности, как видим, необходимо n2 ячеек. Поскольку мы имеем дело с неориентированным графом, то матрица смежности симметрична относительно главной диагонали, и, следовательно, в памяти ЭВМ может храниться лишь один из ее треугольников, что позволит экономить память, но усложняет ее обработку на ЭВМ.
Телекоммуникационная сеть (взвешенный граф) может быть в дискретном виде подан матрицей весов, где элементы матрицы обозначают вес ребра, если он существует у графа. Веса несуществующих ребер считают равными «∞».
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
0 |
70 |
|
11 |
90 |
|
25 |
80 |
|
|
2 |
70 |
0 |
15 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
15 |
0 |
|
|
52 |
30 |
|
|
|
4 |
11 |
3 |
|
0 |
|
15 |
|
|
|
|
5 |
90 |
|
|
|
0 |
93 |
|
60 |
|
|
6 |
|
|
52 |
15 |
93 |
0 |
20 |
18 |
45 |
|
7 |
25 |
|
30 |
|
|
20 |
0 |
|
|
75 |
8 |
80 |
|
|
|
60 |
18 |
|
0 |
13 |
14 |
9 |
|
|
|
|
|
45 |
|
13 |
0 |
8 |
10 |
|
|
|
|
|
|
75 |
14 |
8 |
0 |
В=
где пустая клеточка в данной матрице обозначает ∞.
Еще один из способов представления графа — список ребер. Этот список может быть реализован двумерным массивом размерностью (2,m):
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
6 |
7 |
8 |
8 |
9 |
2 |
4 |
5 |
7 |
8 |
3 |
4 |
6 |
7 |
6 |
6 |
8 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
10 |
10 |
При организации представления графа в виде дискретного массива с плавающими границами, т.е. в случае, когда необходимо предусмотреть возможность добавления или удаления вершин графа, можно использовать структуру смежностей. Она являет собой список смежных вершин для каждой вершины графа. Структура данного графа, представленного на рисунке 1 имеет вид: 1:2,4,5,7,8
2:1,3,4
3:2,6,7
4:1,2,6
5:1,6,8
6:3,4,5,7,8,9
7:1,3,6,10
8:1,5,6,9,10
9:6,8,10
10:7,8,9
Если перенумеровать в произвольном порядке ребра графа и поставить эти номера в соответствии с номерами строк некоторой матрицы С=[сij], а номера столбцов оставить как раньше, соответствующими номерам графа, то в такой матрице Сij могут принимать значения {0,1}.
Перенумеруем ребра для рассматриваемого графа:
Н.в. |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
6 |
7 |
8 |
8 |
9 |
К.в. |
2 |
4 |
5 |
7 |
8 |
3 |
4 |
6 |
7 |
6 |
6 |
8 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
10 |
10 |
|
9 |
4 |
15 |
8 |
16 |
1 |
11 |
14 |
2 |
18 |
3 |
12 |
7 |
19 |
10 |
5 |
13 |
17 |
6 |
Тогда матрица инцидентности имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
9 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
11 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
14 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
18 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
С=