Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Невизначений інтеграл.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
04.09.2019
Размер:
1.18 Mб
Скачать

Херсонський державний аграрний університет

кафедра вищої математики

Методичні вказівки

для проведення практичних занять

(розділ “Невизначений інтеграл”)

для студентів 1 курсу

будівельно-гідромеліоративного факультету

ХЕРСОН – 2007

Дійсні методичні вказівки містять краткі теоретичні відомості про невизначені інтеграли та зразки рішення прикладів. Матеріал подано відповідно до учбового плану для будівельно-гідромеліоративного факультету з діючою програмою курсу “Вищої математики”.

Методичні вказівки призначені для самостійного вивчення теми “ Невизначений інтеграл”.

Методичні вказівки до проведення практичних занять з дисципліни

Вища математика

Рецензент доктор технічних наук, професор Марасанов В.В.

Затверджено на засіданні кафедри

Вищої математики

Зав. кафедри Савченко О.Г

Схвалено методичною радою факультету БГМФ протокол № від

Склали методичні вказівки :

к. пед. н., доцент кафедри вищої математики Кузьмич Л.В.

к.с.-г.н., доцент кафедри вищої математики Степаненко Н.В.

старший викладач кафедри вищої математики Севостянова Л.М.

Заняття №1 Невизначений інтеграл.

Первісною функції f(х) в даному інтервалі називають функцію F(x), якщо для кожного х в цьому інтервалі F(x)=f(x). Будь яка неперервна функція має нескінчену множину первісних, які відрізняються одна від одної постійною константою. Сукупність всіх первісних функції називається невизначеним інтегралом і позначається символом

Знаходження первісної функції називається інтегруванням. Інтегрування представляє собі операцію, яка є оборотною диференціюванню, тому кожній формулі диференціювання відповідає формула інтегрування.

Основні формули інтегрування :

Безпосереднє інтегрування

Цей метод використовують в тому випадку, коли підінтегральна функція відповідає одній із формул невизначеного інтеграла. В деяких випадках підінтегральну функцію можна за допомогою алгебраїчних чи тригонометричних перетворень привести до табличного інтегралу.

Приклад :

1.

2.

3.

4.

5.

Обчислити інтеграли :

Домашнє завдання :

Заняття №2 Інтегрування підстановкою

Спосіб підстановки використовують, коли підінтегральний вираз – складна функція, помножена на диференціал проміжного аргументу чи на множник, який відрізняється від диференціала проміжного аргументу складної функції постійним коефіцієнтом. В цьому випадку, для знаходження первісної проміжний аргумент складної функції потрібно замінити на нову зміну, знайти диференціал нової змінної і виразити підінтегральний вираз через нову змінну. Потім за формулою знайти інтеграл і в знайдений результат підставити її значення замість нової змінної.

Розглянемо наступні випадки :

  1. Інтеграли, які зводяться до формули

,

Приклади :

а)

б)

  1. Інтеграли, які зводяться до формули:

Приклади :

а)

б)

  1. Інтеграли, які зводяться до формул:

Приклади :

а) б)

  1. Інтеграли, які зводяться до формул:

Приклади :

а) б)

  1. Інтеграли, які зводяться до формул:

Приклади :

а)

б)

  1. Інтеграли, які зводяться до формул:

Приклади :

а)

б)

При інтегруванні методом заміни таблицю інтегралів зручніше записати для складної функції. Усіляка формула інтегрування зберігає свій вид при заміні замість незалежної змінної на будь яку диференційовану функцію від неї, тобто, якщо:

Доповніть відсутні данні в наступних тотожностях:

1. 2.

3. 4.

5.

Обчислити інтеграли :

Домашнє завдання

Обчислити інтеграли :

Заняття №3

Інтегрування підстановкою

Інтеграли від функцій, що містять квадратний тричлен.

І. Знайти наступні інтеграли :

ІІ. Інтеграли виду :

Для перетворень вказаних підінтегральних виразів до формул інтегрування треба із квадратного тричлена виділити повній квадрат, а потім підібрати відповідну формулу.

Приклади:

а) б)

в)

г)

Обчислити інтеграли :

Домашнє завдання :

Обчислити інтеграли :

Заняття №4

Інтегрування частинами

Формула інтегрування частинами має вид

За допомогою цієї формули обчислення інтеграла зводиться до обчислення інтеграла , якщо останній буде простіший за вихідний.

Приклад :

Формулу інтегрування частинами можна використовувати декілька разів.

Приклад:

Обчислити інтеграли :

Домашнє завдання :

Заняття №5

Інтегрування раціональних дробів

Інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування простіших дробів виду :

1) ; 2) ( n > 0 та ціле ) ; 3) ;

4) ( n > 0 та ціле ) .

Неправильну раціональну дріб, у якої степінь чисельника Р(х) вища чи дорівнює степені знаменника Q(x), можна діленням чисельника Р(х) на знаменник Q(x) за правилом ділення многочлена на могочлен, представити у виді суми многочлена М(х) та правильної остаточної дробі

.

Правильну раціональну дріб розкладають на елементарні, завжди інтегруємі складові дроби. Для чого знаходять корні рівняння Q(x)=0 і розкладають знаменник Q(x) на множники першої та другої степені.

Після чого правильну дріб розкладають на простіші за формулою

де А12 …,М12 - невизначені коефіцієнти.

Розглянемо наступні види раціонального дробу:

1.

Приклади:

а)

б)

в) (чисельник дорівнює похідній знаменника)

2.

Остаточно:

Приклади :

а) ;

б) ;

в) ;

г)

3.

Для визначення цього інтеграла поступають так :

а) у чисельнику дробу, яка стоїть під інтегралом, записують похідну знаменника, тобто (2х+р). Тотожними перетвореннями із 2х+р отримують заданий чисельник Ах+В, тобто 2х+р помножують на і до знайденого добутку добавляють ,тобто

Перша дріб інтегрується просто: в чисельнику знаходять похідну знаменника – інтегрування зводиться до натурального логарифму модуля знаменника. Для інтегрування другої дробі у знаменнику виділяють повний квадрат

Інтеграл від другої дробі зводиться до табличного інтегралу :

Зауваження! коли в знаменнику дробі замість х2 + рх + q знаходиться ax2 + bc + c, то коефіцієнт а потрібно винести за дужки і тим самим звести цей випадок до попереднього.

Приклад :

4.

Інтеграл першого дробу обчислюється за формулою , друга дріб

Приклад :

а)

Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів :

б)

в)

Обчислити інтеграли :

Домашнє завдання:

Обчислити інтеграли :

Заняття №6 Метод Остроградського.

Справедлива наступна формула, яка належить М.В.Остроградському :

, де - правильна дріб, Q1(x) – найбільший загальний дільник Q(x) та Q'(x),

- многочлени, які мають степінь відповідно на одиницю менш степені многочлена Q1(x) и Q2(x), знаходяться із тотожності - метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад:

Диференціюючи обидві частини цієї тотожності, відповідно отримаємо

або

Прирівняв коефіцієнти при відповідних степенях х, будемо мати: і, відповідно,

Знайдемо наступні інтеграли :

Домашнє завдання:

Заняття №7 Інтегрування тригонометричних функції.

  1. Інтегрування виду

Підстановка . Цю підстановку називають універсальною тригонометричною. В цьому випадку, інтеграл зводиться до раціонального дробу відносно нового аргументу t.

Приклад:

а)

б)

  1. Інтеграл виду , де m та n парні невід’ємні цілі числа. В цьому випадку використовують формули зниження степені:

Приклад:

а)

б)

2а) Як що в хоча б одне із чисел m або n – непарне додатне ціле число, то відокремлюємо від непарної степені один множник першої степені та виражаємо за допомогою формули залишившуюся парну степінь через додаткову функцію, та приходимо до табличного інтегралу.

  1. Інтеграли виду:

зводяться до табличних з допомогою формул:

Приклад:

Інтеграли виду

зводяться до табличних підстановками: .

Приклад:

Обчислити наступні інтеграли:

Домашнє завдання:

Обчислити наступні інтеграли:

Заняття №8 Інтегрування ірраціональних функції.

Інтегрування виду , де R – раціональна функція своїх аргументів; - цілі числа, підстановка (к – найменший загальний кратне число ) зводять до інтегралу від раціональних функції. Подібним чином знаходяться інтеграли виду . Треба використовувати підстановку .

Приклад:

б)

2) інтеграли виду а) . В цьому випадку використовують підстановку .

б) . В цьому випадку використовують підстановку .

Приклад:

  1. Інтеграли від диференційного бінома.

Ці інтеграли мають вид , де m, n, p – раціональні числа; а, b – дійсні числа.

а) р – ціле число. Використовується підстановка , де к- загальний знаменник для m та n.

б) . Як що - ціле число або нуль, тоді використовується підстановка .

Приклад:

в) Як що - дрібне, а - ціле або нуль, то використовують підстановку .

Приклад :

Обчислити наступні інтеграли:

Домашнє завдання:

2

35

3

34

4

33

5

32

6

31

7

30

8

29

9

28

10

27

11

26

12

25

13

24

14

23

15

22

16

21

17

20

18

19