46. Степеневі ряди в комплексній площині. Теорема Коші-Адамара.
Степеневий
ряд
(1)де
- фіксовані комплексні числа, а
–
комплексна змінна, яка є простим прикладом
функціонального ряду, тобто, ряді, члени
якого – деякі функції від
.
Такий ряд, збіжний при одних значеннях
і розбіжний при інших. Відповідь на
питаннях при яких значення
це відбувається дає теорема Коші-Адамара.
Теорема
Коші-Адамара: Якщо
,
то при
ряд
(1)
абсолютно
збіжний по всій площині, при
він збігається тільки в точці
і розбіжний при
,
при
ряд (1)
абсолютно
збігається в крузі
і є розбіжний за його межами (при
).
Доведення:
Зауважимо,
що ряд (1)
завжди
збігається в точці
,
так як при
всі члени ряду, починаючи з другого,
перетворюються в нуль. Дослідимо ряд
(1)
при
на абсолютну збіжність з допомогою
ознаки Коші. Для цього розглянемо ряд:
(2).
Можуть появитися наступні випадки:
а)
.
Тоді
за ознакою Коші звідси випливає збіжність
ряду (2)
в
усіх точках площини, тобто абсолютна
збіжність ряду (2)
для
всіх
.
б)
Нехай
.
При всіх
тоді маємо:
тобто
загальний член ряду (2)
(за
ознакою Коші) не збігається до нуля.
Отже, не збігається до нуля і загальний
член ряду (1),
звідки
випливає, що він розбіжний при всіх
.
в)
Нехай
тепер,
.
Для всіх
маємо:
Якщо
,
то
ряд (2)
збігається
за ознакою Коші. Звідси випливає абсолютна
збіжність ряду (1)
в
крузі
.
При
маємо:
;
за ознакою Коші, загальний член ряду
(2)
не
збігається до нуля. Тому ряд (1)
є
розбіжним при
.
Теорема доведена.
Областю
збіжності степеневого ряду є круг –
круг збіжності – радіуса
з центром в точці
.
Число
називається радіусом збіжності.
Зауваження:
з
курсу мат. аналізу відомо, що степеневий
ряд
,
де
і
коефіцієнти
дійсні, збігається абсолютно в деякому
інтервалі
,
і є розбіжним при
.
Такий результат ми можемо знову получити
як наслідок теореми Коші-Адамара,
застосувавши її до ряду
Областю
збіжності цього ряду є круг з центом в
і радіуса
( при
ряд збігається в єдиний точці
),
який перетинається з дійсною віссю по
інтервалі
,
де збігається абсолютно ряд
.
Далі, так як ряд
є
розбіжний при
,
то і ряд
буде розбіжним при
