44. Функція комплексної змінної. Границя. Похідна.

Нехай комплексна змінна приймає всеможливі значення із деякої множини , яка геометрично інтерпретується як область в комплексні площині. Якщо з кожним значенням z із області Z співставляється одне або декілька значень другої комплексної змінної , то останню називають функцією від z в області Z і записують або . Якщо є функцією від в області , то її складові u та v теж будуть функціями від z, або що то саме – від x, y в відповідній області : ,

Якщо задана функція комплексної змінної на деякі множині, то це означає, що задані дві функції двох дійсних змінних і навпаки якщо на деякі множині G(x, y) задано дві функції дійсних змінних то на цій множині задана функція комплексної змінної . Графік функції комплексної змінної є поверхня в просторі R .

Нехай функція f(z) визначена в околі точки . Говорять, що функція має своєю границею комплексне число А=a+bi при якщо для як лише для всіх точок z які виконується за винятком точки .

Існування скінченної границі функції f(z) при еквівалентне одночасному існуванню скінченних границь ,

Визначення похідної для функції в точці має вигляд

Формула для обчислення похідної оберненої функції ( ) і всі правила диференціювання переносяться без змін (похідна суми, добутку, складеної функції)

45.Теорема Ейлера - Рімана. Аналітичні функції.

Функція називається аналітичною в точці , якщо вона диференційовна в кожній точці деякого околу точки . Функція, аналітична в точці аналітична в кожній точці деякого околу точки . Тому множина точок аналітичності функції відкрита. Функція аналітична в множині , якщо вона аналітична в кожній точці цієї множини. Функція,аналітична в усій площині називається цілою. Чиможе функція від двох дійсних змінних, яка нескінченно– диференційована в області служити дійсною(уявною)частиною деякої аналітичної функції. Нехай аналітична в області . Тоді задовольняють умови Д’Аламбера – Ейлера, які в мають вигляд: . Диференціюючи першу з рівностей по , а другу по врахувавши, що отримаємо, додавши почленно два результати:

. Аналогічні рівності отримаємо для функції , якщо продиф першу рівність по , а другу по і виразимо другу рівність через першу: . Рівність - рівняння Лапласа, а функції, які мають в деякій області неперервні частинні похідні до другого порядку включно і задовольняють дане рівняння – гармонічні функції.

Теорема.

Кожна гармонічна в однозв’язній області функція служить дійсною(уявною) цій області. частиною деякої аналітичної функції в

Доведення.

Нехай - гармонічна функція і однозначна в даній області . Покажемо, як знайти аналітичну в даній області функцію , дійсна частина якої співпадає з . Для знаходження уявної частини маємо рівняння Д’Аламбера – Ейлера:

. - неперервні в області і мають в цій області неперервні похідні першого порядку. При цьому виконуються умови: , в силу якої не залежить від шляху інтегрування. має частинні похідні такі ж як функція : . Тому може відрізнятися від тільки на сталу . .Знайшовши за цією формулою, матимемо диференційовані в області функції , які пов’язані рівняннями Д’Аламбера – Ейлера. Звідси випливає, що функція - аналітична в області . Теорема доведена.